Oldřich Botlík: Úloha z rozsudku – odbyté zadání a odbytá náprava jeho důsledků

Rozsudek související s řešením úlohy o úhlech loňského maturitního testu z matematiky vyvolal diskuse podobné těm, jež proběhly před rokem. Někteří diskutující pomíjejí okolnost, která hraje při posuzování kvality zadání úloh přijímacích a maturitních testů klíčovou roli. Na jazyk testových úloh použitých v důležitých zkouškách je totiž třeba klást výrazně vyšší nároky než na jazyk používaný v běžné vyučovací hodině – ať se to týká češtiny, cizího jazyka nebo matematiky. Vysvětlím proč.

Přijímací či maturitní testování – jako komunikační situace – se od běžné výuky zásadně liší. Cermat už nemůže k tomu, co dodá žákům, vůbec nic dovysvětlit. Pokud něčemu neporozumí žák, nemá se koho zeptat. K mnoha svým odpovědím dokonce ani nesmí připsat vysvětlení, jak je zamýšlel. Naopak při běžné výuce mohou spolu učitelé a žáci komunikovat i velmi neformálně, protože si případné nedorozumění mohou vyjasnit. V přijímacím a maturitním testování nic takového možné není. Pro formální stránku zadání úloh to má zcela evidentní důsledky: musí být nezpochybnitelná. 

Odbyté zadání 

V mateřském i cizím jazyce je ve složitějších případech „neprůstřelnost“ zadání téměř vyloučená. Proto se nejčastěji týkají naprostých trivialit. V matematice bývá naopak neprůstřelnost zadání dosažitelná velmi snadno. Jazyk matematiky totiž zachází přesným způsobem s exaktně definovanými pojmy a symboly. Zadání úlohy 11 v testu vypadalo takto:

Stačilo napsat „Pro dva různě velké úhly“ a bylo vymalováno! Jeden učitel mi napsal, že Cermat přece mohl dosáhnout svého i matematicky naprosto přesným a jednoznačným vyjádřením:

Není také jasné, proč vlastně Cermat označení druhého úhlu do zadání vůbec zamotal. Neprůstřelné zadání mohl formulovat mnohem přehledněji bez něj (označení hledaného úhlu ponechávám kvůli návaznosti na původní zadání stejné, tedy „beta“):

Existovalo tedy hned několik možností, jak mohl Cermat úlohu 11 velmi jednoduše zadat, aby jejím nesporně jediným správným řešením byla hodnota 248. Nedošlo k tomu v důsledku toho, že autor úlohy a všichni kontroloři Cermatu odbyli svou práci. Přihodit se to samozřejmě může – to pořád ještě není žádná tragédie. Následky šlendriánu Cermatu však nesmějí odskákat maturanti, i kdyby mělo jít „jen“ o jediného žáka. O jediného žáka však ani zdaleka nešlo.

Odbytá náprava 

Loni se test z matematiky psal 2. května. Už 5. května jsem dostal e-mail, podle něhož si někteří žáci ve škole stěžovali, že popletené zadání je zmátlo a oni uvedli jen odpověď 248, ačkoli je jasné, že úplným řešení jsou obě hodnoty 112 a 248. Namátkou jsem oslovil několik učitelů, kteří mi potvrdili, že se vyskytla jak odpověď „112 a 248“, tak odpovědi „pouze 112“, případně „pouze 248“. Ministerstvo školství mi později sdělilo, že z počtu 15 702 maturantů, kteří test psali, uvedlo 6 428 žáků odpověď „112 a 248“ nebo odpověď „pouze 248“. Jiné odpovědi uvedlo 6 189 žáků, nelze prý ovšem jednoduše zjistit, které to byly. Bez odpovědi ponechalo úlohu celkem 3 085 maturantů. 

Vůbec to tedy není tak, že by nevhodné zadání nezmátlo nikoho, případně jen několik málo jedinců. Zmatení bylo natolik masivní, že kdyby Cermat pečlivě vyhodnocoval výsledky pilotáží, musel by nedostatek zadání včas odhalit. Za předpokladu, že pilotáže provádí. Za druhý projev naprostého diletantství pokládám, že školy sice skenují záznamové archy, ale Cermat nepoužívá software, který sám převádí naskenované odpovědi do alfanumerického tvaru. Jinak by mohl okamžitě zjistit, kolik žáků odpovědělo třeba „pouze 112“. Takový software je dnes už běžně dostupný i pro mobily. 

Někteří lidé vytrvale tvrdí, že zadání úlohy 11 je v souladu s tím, jak se v hodinách matematiky obvykle mluví. To nepopírám – jen konstatuji, že je to pro posouzení problému dost irelevantní. V běžné výuce si totiž učitel a žák mohou případné nedorozumění vysvětlit. V přijímacím a maturitním testování je to vyloučené nejen v matematice, ale i v češtině a cizím jazyce. Při posuzování odpovědí žáků na úlohu 11 je proto nutné vycházet z toho, jak znělo její zadání v testu – nikoli z toho, jak se lidé v Cermatu chtěli zeptat, ale nezeptali. Jinak by totiž Cermat netestoval znalost matematiky, ale schopnost empatie.

Úloha 11 – jak byla skutečně zadána – má jedinou úplnou správnou odpověď „112 a 248“. Když vyšlo najevo, že ji Cermat uznával, bylo navíc jasné, že si je toho vědom. Uznával také odpověď „pouze 248“, která je ovšem úplnou správnou odpovědí na zadání, jež v testu nebylo. Vzhledem k použitému zadání jde jen o odpověď částečnou, navíc zcela rovnocennou s částečnou odpovědí „pouze 112“, za kterou Cermat bod nedával.

Argumentaci, proč jsou obě částečné odpovědi rovnocenné, lze vést například takto: (1) to, co Cermat zamýšlel, ale do zadání úlohy 11 nenapsal, samozřejmě nesmí hrát žádnou roli; (2) k libovolné z obou částečných odpovědí může snadno dospět žák, který ví, kde má na jednotkové kružnici hledat hodnotu kosinu (případně žák, který zná průběh funkce cos, ap.); (3) k libovolné z obou částečných odpovědí může snadno dospět žák, který o goniometrických funkcích nemá ani páru: prostě jen opíše ze zadání hodnotu 112, nebo odečte 360–112 =248, neboť hodnoty 112 a 360 se obě v zadání vyskytují – žáci to dělají poměrně běžně; (4) nikdo nedokáže rozlišit, zda žák postupoval podle (2), nebo podle (3).

Maturant, o jehož žádosti o přezkoumání výsledku testu má ministerstvo znovu rozhodnout, proto musí za svou odpověď 112 dostat bod, který mu chybí. Nedokážu si představit jiný způsob, jak by MŠMT mohlo vyhovět požadavkům soudu. Jsem přesvědčen, že to mohlo a mělo udělat už před rokem. A doufám, že se z tohoto pochybení konečně poučí. 

Sdělení MŠMT o odpovědích maturantů v úloze 11 naleznete zde