Záměr ministra školství zrušit zavedení povinné maturity z matematiky vyvolal protichůdné reakce. Současně se připravuje revize RVP. Je proto užitečné připomenout v několika krátkých textech hlavní myšlenky slavného článku Paula Lockharta Matematikův nářek z roku 2002, v němž lamentuje nad školní matematikou. Předchozí díl představil autorovu metaforu, podle níž se ve škole stal jediným cílem výuky matematiky nácvik rutinních činností.
 |
| Oldřich Botlík (eduin.cz) |
Proč Lockhart lamentuje?
Paul Lockart je přesvědčen, že na provozování matematiky není a nemá být nic rutinního, neboť jde především o umění. Tedy o umění tvořivě a správně myslet, být zvídavý a dokázat uspokojovat svou neustálou chuť přicházet věcem na kloub. Tvrdí, že obraz matematiky, který běžná školní výuka představuje žákům, je falešný, a vyčítá takovým školám, že v hodinách matematiky mrzačí nevinné mladé mozky a ubíjejí jejich zvídavost.
Zdůrazňuje, že nemá nic proti učení se vzorečků nebo zajímavým poučkám. Obojí je v rozumném kontextu v pořádku a má ve výuce matematiky místo. Podobné, jaké má učení se „slovíčkům“ ve výuce cizího jazyka, kde pomáhá vytvářet bohatší a vycizelovanější texty. Ve výuce matematiky proto nemá hlavní význam třeba poučka, že obsah trojúhelníku je polovina součinu délek základny a výšky na ni kolmé.
Opravdu důležitý je podle Lockharta nádherný nápad, jak názorně dokázat, proč ta poučka platí: přetnout obdélník čárou jako na obrázku vpravo. Každému bílému trojúhelníku, který řezem vznikne, pak odpovídá stejně velký šedý protějšek. Nápad může podnítit vznik jiných skvělých nápadů a vést k průlomům v řešení dalších problémů. Pouhé sdělení poučky ovšem nestačí – Lockhart uvádí, že je to jako říkat, jak nádhernou sochu Michelangelo vytvořil, ale neukázat ji.
Pokud se výuka soustředí na CO (platí), ale vynechá PROČ (to platí), je matematika zredukována na pouhou prázdnou skořápku. Umění není v „pravdách“, nýbrž v argumentaci, tedy ve vysvětlení, proč platí. Matematika nejsou primárně „pravdy“, nýbrž umění zkoumat, proč pravdy platí, a vysvětlovat to. Nedostanou-li žáci příležitost k podobným aktivitám – nacházet vlastní problémy, formulovat hypotézy, objevovat, chybovat, být zklamán neúspěchy, dostávat inspiraci, zkoušet sestavit vlastní zběžné návrhy vysvětlení a důkazů – je jim upírána matematika jako taková. Lockhart si tedy nestěžuje na přítomnost vzorečků a pouček ve výuce matematiky. Stěžuje si, že v hodinách školní matematiky chybí matematika.
Nemá to za zlé učitelům, ale školní byrokracii, jež už velmi dlouho detailně a hloupě určuje, co se má ve škole „probírat“, jakých „očekávaných výstupů“ mají žáci dosáhnout a jakými testy a kdy se bude „ověřovat“, zda jich opravdu dosáhli. Namísto osobností, jež dokážou kompetentně vyučovat podle potřeb svých žáků a přivádět je k aktivnímu a samostatnému zkoumání na úrovni odpovídající jejich věku a schopnostem, přitahuje školský systém po celou dobu své existence spíše učitele, kteří už mnohdy ani netuší, že by měli především podporovat zvídavost a tvořivost dětí. Také učitelé jsou produktem téhož systému, a proto zmíněné vlastnosti většině z nich chybějí. Díky, nebo spíše kvůli tomu, je systém až neuvěřitelně stabilní: své sebepotvrzování si totiž dokonale pojistil.
První díl naleznete zde
56 komentářů:
To je naprosto běžný a hlavně principiální způsob. Je prostý a jednoduchý, jako každý další matematický postup.
Problém je v tom, že v době, kdy se toto učí, už není dítě schopno "chápat". Už je schopno pouze reprodukovat. A dnes se chápání nevyžaduje, když jím často neoplývají ani učitelé, nemluvě o reformátorech.
Už jsem to psal několikrát. Kdykoli nějakému čtyřicátníkovi a staršímu dojde něco z matematiky z dětských let, vždycky dostane chuť na reformu matematiky. Nedávno tady někomu docvakla záporná čísla a taky měl plné pero kritiky na svou dětskou výuku.
V třetím díle objevíte, pabe Botlíku, že když se násobí deseti, stačí posunout desetinnou čárku?
Tady je zakopaný pes toho, proč většině studentů (ale i dospělých, včetně těch vysokoškolsky ne technicky vzdělaných, kteří se tím netají) matika jednak nejde a hlavně, proč je nebaví. Nemyslím počty, ale matematiku.
První problém je, že nedojde k pochopení matematických pojmu, jako tady výška. Zde byl trojúhelník ostroúhlý, ale jsou i pravoúhlý a tupoúhlý a tam výška má zase jiné zobrazení. A když píšu pochopení, myslím tím, v čem je praktická využitelnost (aplikovatelnost) a tedy užitečnost pojmu. I v turistice jako člověk neustále chodící po horách musí se pár pojmů naučit, abych uměl výborně využívat elektronické mapy či papírové mapy.
Velice často se pracuje jen se vzorci a začne počítat, aniž k pochopení pojmu dojde. Pak už se to dá jen biflovat (s krátkodobým účinkem).
Pak přijdou klíčové testy jako přijímačky či maturity, kdy na otázku je v průměru 2-3 minuty a už se jede jen biflování algoritmů (nepochopených) na rychlost - špatné průnměrné výsledky všech testů, kdy dochází navíc stále k zhoršování, nahrávají různým placeným kurzům, které "připravují" na přijímačky a maturity. Tam už k pochopení nemůže docházet vůbec. A tak se ten systém konzervuje a ten smysl matematiky se upozaďuje.
Studenti, kteří matematice přišli na chuť, na tom taky nejsou v hodinách nejlépe - pro ně je procvičované a všechny ty testy tak snadné, těžko nacházejí přidanou hodnotu hodiny.
Argument (častý) - tak jim dej více příkladů či těžší příklady je lichý - jim stačí méně příkladů, ne více. A těžší příklad většinou není o jiné myšlence, ale o těžším výpočtu, což pro ně není problém. Potřebují JINÉ využití, ale k tomu potřebují i inspiraci a vedení učitelem, ale ten by měl rázem ve třídě většinu, která nechápe, o co běží.
Vím, jak jsem se nudil celou základku a gympl v matice já. Až na matfyzu jsem se nenudil. Nejlepší byla malotřídka, kdy jsme jako nižší byli spojeni s třídou o 2 ročníky výše, to bylo pro mě zajímavé.
ad PP
Mohl byste prosím vysvětlit (popsat, rekapitulovat), CO je podle vás naprosto běžný a hlavně principiální způsob, prostý a jednoduchý jako každý další matematický postup? Je snad běžný ve školách? Nějak mi to uniká.
A ani trochu nechápu další jev, o němž píšete. Proč v době, kdy se vyučuje obsah trojúhelníku, už dítě není schopno "chápat", už je schopno pouze reprodukovat. Jak k tomu podle vás došlo? To je důsledek nějakého přírodního zákona? Jakého? Obnoví se někdy ta schopnost?
Například vy: taky jste v dětství ztratil schopnost chápat? Nabyl jste ji zase někdy, nebo od té doby pouze reprodukujete?
Nějak jste si nevšiml, že neuvádím své názory, nýbrž myšlenky Paula Lockharta, které uvádí v lamentaci, jež dosáhla světové proslulosti. Hodně pro to udělal mj. Keith Devlin, profesor matematiky na Stanfordu a známý popularizátor matematiky (viz třeba překlady jeho knih do češtiny, které vydala nakladatelství Argo a Dokořán). Leckhart je matematik, který psával články do renomovaných matematických časopisů a svou lamentaci sepsal až jako učitel, když se rozhodl, že naplněním jeho pracovního života bude vzdělávat děti a mládež v matematice.
Kolik článků s vlastními matematickými větami jste napsal vy?
Pane Botlíku, já Vám tleskám. Celý život lituji, že jsem matematiku nevložila do koše svých učitelských kompetencí - i když je to dnes asi to nejdvrdší učitelování. Asi jsme měla dobré učitele - hlavně na prvním stupni(tam se dle mého odehrává víc než tušíme). Matematika tam byla pro mě byla vždy hra a dobrodružství luskání hádanek. Je jasné, že s těžší matematikou jsem ovadla - asi jsem neměla ty správné kouče...Vždy budu litovat, že jsem se nevydala matematickými stezkami.
K Vašim interpelacím - drobná rada: v současné době se moc neností odpovídat na věcné dotazy. In je mlžit a žvástat...tedy budu ráda, za svou špatnou predikci ve výše uvedeném případu.Pane PP sledujeme Vás:-)
:) Již pár ano.
Nicméně jsem samozřejmě četl všechna ta díla a způsob, jakým jsou interpretována vámi i dalšími "popularizátory" matematiky je vždycky kách a dost mimo mísu.
Schopnost chápat do hloubky je dovednost jako každá jiná. Matematika jest nástrojem, který tuto schopnost v té nejčistší a nejobjektivnější formě trénuje, cvičí a vyvíjí.
Problém je v tom, že je to nezvládnutelné bez jistých předchozích dovedností, tedy kalkulu. Systém 2 v naší hlavě (jen pojmenování, Kahnemann) má podobné vlastnosti, jako sval. Pokud se necvičí, nevydrží. A protože frontální útok na matematiku začíná již na prvním stupni už tím, že se počítá stále méně, a více se vysvětluje, sval je ochablý.
Co se týče toho principiálního - krásně elegantní je důkaz Thaletovy věty. Problém je v tom, že jej nemůžu ukázat studentům v době, kdy se Thaletova věta začíná potřebovat. Ale je nutné mít vybudovaný aparát k tomu, abych jej vystřihnul při otázce žáka: proč?
Matematika naučí jedny zkoumat a ptát se a druhé plnit bez otázek. Ani jedna z těchto rolí není ponižující, obě dvě dovednosti potřebují jak lidé, tak společnost. Problém je opět v tom, a to se vracím, že když kdekomu něco v matematice dojde v dospělosti a má náhodou možnost a moc ovlivňovat, tak tak činí. Připomíná mi to ten fejk o aspirinu.
Nebylo by špatné, tak jako v matematice, jít na dřeň problému a pokusit se jej definovat tak, aby byl rozhodnutelný.
Já osobně si myslím, že disputace o tom, co a jak se má učit, je k ničemu. Je podobné jako učit lidi jednomu stylu sprchování. Pojďme diskutovat a rozhodovat o kruciální otázce:
Má být zvládnutí maturitní matematiky podmínkou pro vstup na vysokou školu nebo ne?
Já osobně jsem přesvědčen, že ano. Současná úroveň středoškolské matematiky je na té nejnižší možné úrovni. Bohužel naproti tomu je první stupeň přecpán až k prasknutí.
A to je důvod pro to, že je pro čím dál více lidí pohodlnější jen zopakovat obsah, místo toho, aby mu porozuměli.
Jo, a všiml jsem si, že neuvádíte vlastní názory.
:)
S tím "svalem" nesouhlas. Celý život je u mě matika "v šuplíku" (učila jsme jen tv- zem)a mechanické počítání mám pětkrát rychlejší, než moji čtvrťáci.
Protože ho máte trénovaný. Nevíte, jak jej "nepoužívat". Cvičíte jej, protože je to pro Vás přirozené. Kladete si otázky typu "proč" a "jak". Zajímáte se.
Jak vysvětlit rybě, jak vypadá život mimo vodu? :)
Udělejte schválně experiment. Nechejte je přečíst:
"Pokud si nemyslíte, že této větě rozumíte, nezůstávejte sedět."
Výsledek by mě celkem zajímal.
K diskusi. K článku se vyjadřovat nebudu, shrnul to PP. Článek je dávno passé.
Jen připomínku. Thaletovu větu nebudu u malošů dokazovat, ale klidně jim ji ukážu s využitím geogebry. Protože důkaz by měl zvládnout maturant, ale ne běžný záklaďák. Ale měl by i záklaďák, pokud to má používat, tomu trochu věřit.
Problém není v matematice, ale v podmínkách v jakých se matematika učí. Nekvalifikovanost, nedostatek dobrých učebnic, přetíženost kantorů papírováním, zahlceností neověřených metod a teoretizováním.
A samozřejmě i v nedostatku nadhledu učitele matematiky, ale to vždy bylo a vždy bude.
Ani rozsahově to není hrůza. První stupeň je především o didaktice a ne tolik o učivu a postupně se to přelévá, až na VŠ je minimum didaktiky a maximum matematiky.
Proto se mohou zdát RVP pro 1. stupeň našlapané. Protože tam, když se něco zkazí, máme matematického mrzáčka na celý život. Zvlášť, když někteří školští experti problematice nerozumí, něco si přečtou a představí si pod tím největší horor, případně se rozhodnou radit učitelům či dokonce zakládat vlastní školy.
Na SŠ je situace neudržitelná. Už teď je SŠ učivo na minimu, aby byli schopni žáci řešit běžné VŠ problémy. Čím víc se matematika proděraví, tím míň bude konzistentní a tím víc žáků nebude chápat.
Navíc je tu spousta žáků, kteří si myslí, že nemusí a jsou ještě médii utvrzováni, jak se bez matematiky obejdou. Nikdo jim neřekne, že úspěch bez matematiky je vzácné koření a v globálním zasíťovaném světě bude na úspěch pěkná tlačenice a dočkají se ho jen ti nejlepší z nejlepších. I průměrný aktivní občan bude muset s nárůstem technologií zvládat středoškolskou matematiku na vyšší úrovni a rozsahu než dnes - rutinní operace zvládne počítač, ale člověk bude muset myslet. A to bolí, pokud není natrénováno.
Nemyslící konzument možná přežije. Možná ho někdo sežere? Třeba vládnoucí eliťák. Ale co pak?
ad PP
Matematika jest nástrojem, který schopnost chápat do hloubky trénuje, cvičí a vyvíjí v té nejčistší a nejobjektivnější formě. (Udělal jsem ze dvou vašich vět jednu.)
Matematika provozovaná matematiky-vědci takovým nástrojem nepochybně je. Matematika odehrávající v mozcích naprosté většiny základo- a středoškoláků nemá s touto schopností téměř nic společného. Složení maturitního testu z matematiky taky ne, byť je v něm každý rok nejméně jedna úloha, která aspoň odhalí, že většina maturantů skládajících ten test nemá schopnost využít své matematické znalosti jinak než mechanicky.
Pokud se domníváte, že tím rozhodujícím předpokladem je zvládnutí mechanického kalkulu, pak asi nemá smysl, abychom spolu diskutovali. "Obracíte implikaci", pane. Je nepochybně pravda, že kdo zvládá kalkul s porozuměním, rozvíjí tím rovněž svou schopnost chápat do hloubky. Kdo se ovšem jen naučil, že 6krát 8 dává stejný výsledek jako 4krát 12, aniž by rozuměl tomu, že jde o dvě rozdílná uspořádání třeba hromádky 48 ořechů, tomu je to mechanické zvládnutí kalkulu víceméně k ničemu.
Matematika naučí jedny zkoumat a ptát se a druhé plnit bez otázek.
Zdůraznil bych běžně rozšířená školní matematika. A to je podstata problému. Je také hned vidět, že jste (spolu s mnoha dalšími učiteli matematiky) součástí problému. Matematika přece nesmí být ve škole proto, aby naučila většinu žáků "plnit bez otázek". O většinu žáků totiž opravdu jde, a navíc je to stejně nenaučí. Jen v nich vypěstuje odpor a vzdor. A když nezažijí, co to znamená něco do hloubky pochopit, rozumět tomu, budou velmi snadno manipulovatelní.
To možná nevadilo v době, kdy se povinná školní docházka zaváděla. V demokratické společnosti se všeobecným volebním právem a internetem je to mnohem "kruciálnější" otázka než ta vaše: Má být zvládnutí maturitní matematiky (nutnou) podmínkou pro vstup na VŠ? Mnohým příslušníkům našich intelektuálních "elit" zjevně nedošlo, že bude-li v naší společnosti mnoho manipulovatelných lidí, nějaký schopný manipulátor toho zneužije. Klidně i proti elitám. A budou stačit jedny prohrané volby.
Ze všeho, co jste tu dnes napsal, pro mě vyplývá jediné. Patříte k lidem, kteří ve státní maturitě hledají nástroj, jak donutit žáky k poslušnosti. Jak zlomit jejich vzdor.
To ovšem nemá s matematikou, jejíž krásy a formativních možností při rozvíjení myšlení žáků se dovoláváte, vůbec nic společného.
Díl III bude o tom, co si o realizaci matematického kurikula ve školách myslí Lockhart.
Nedivím se, že hledáte u cizích autorů, když jste schopen následujících tvrzení:
Přemýšlet do hloubky má jen matematik.
Kdo nemá otázky k matematice je manipulovatelný.
Implikaci jste otočil vy a to tak násilně, až se mi nechce věřit, že to napsal dospělý člověk.
Nehledám žádný nástroj a nepotřebuji v nikom lámat vzdor. Což se vsadím mi potvrdí každý z mých žáků. Na rozdíl od blábolivých předmětů totiž mohu používat pravdu. Ta je hezká sama o sobě a pokud máte pocit, že vás to nenaučili, o to více a zoufaleji volám:
"vypadněte od matematiky, blábolivci".
Je pravda, že pro mnohé učitele se matematika stala mocenským nástrojem a to o to víc mocný, o co méně ji žáci umí. Ale to soudíte psa, ne jeho majitele za to, že někoho pokousal.
Já úplně stejně vidím tu útočnou frontu relativistických pitomců, ochotných prodat cokoli kdykoli za cokoli.
NIC se ve školství nezmění, pokud se nezavede povinná maturitní matematika před vstupem na vysokou školu. NIC a NIKDY. Mrkněte do vašeho vychvalovaného Finska, čtěte pisy a jiné výzkumy, nic to nezmění na tom, že bude školství upadat čím dál víc, pokud se bude nahrazovat všechno přemýšlivé relativistickými bláboly.
Ten třetí díl, to snad ani ne.
Co objevíte tam? Dědu Lesoně?
Když z analýzy Cermatu strana 41 vidíte, že studenti všech typu škol se v maturitě z matematiky v ukazateli neúspěšnost v roce 2019 v porovnáním s rokem 2013 zhoršili, aniž se test měnil a je tedy mnohem předvídatelnější a natrénovatelný , a to navíc dokonce dostali v roce 2019 15 minut, ukazuje to co? Že ten vzývaný nástroj je neúčinný? A proč?
Dvě poznámky. Dělat závěr z jednotlivých ročníků je "logicky nevhodné" protože a) nejde o shodný test (ve smyslu totožný, navíc časová délka je rozdílná), b) nelze ani náhodou hovořit o totožném vzorku testovaných. Z takových dat pak lze při ignoraci minimálně těchto primárních podmínek odvodit téměř cokoli. Což se, bohužel, děje.
Pěkné, vyhodnocovat data z jednotlivých ročníků sm je logicky nevhodné. Tak je kurňa vyhodnoťte ve cermatu logicky vhodně. Jak jinak lze kontrolovat zda jste efektivní, zda děláte to, za co vás poplatníci platí?? Nebo chcete jen kontrolovat jiné?
PP
Snažte se diskutovat věcně, bez urážek a zbytečných vulgarit. Děkuji!
ad PP
No, odkopal jste se tak, že by mě předtím vůbec nenapadlo, že to je vůbec možné.
Školství bude upadat čím dál víc, pokud se bude nahrazovat všechno přemýšlivé relativistickými bláboly.
Člověče, vždyť vy snad nechápete ani to, že po ničem přemýšlivém nevoláte. Alespoň z hlediska toho, co dnes a denně zažívá v hodinách matematiky naprostá většina českých žáků.
Proč byste proboha měl ukazovat žákům důkaz Thaletovy věty? Mají být v matematice vzděláváni tak, aby v době, kdy se s tímto poznatkem začíná v geometrických konstrukcích pracovat, už mohli sami přemýšlet o tom, co říká a proč vlastně platí. Jenomže to by předtím -- namísto bezduchého mechanického počítání -- museli dostatečně často podobným způsobem přemýšlet o jiných, jednodušších věcech.
Co je bezduché mechanické počítání?
Mně například přijde mnohem zbytečnější bezduché mechanické odříkávání životopisů českých spisovatelů nebo dějinných interpretací. Kromě toho, že jsou plné nepravd, jsou plné i slovních spojení, které ty děti zdaleka nepochopí. Ale učiteli je zopakují. Fór je v tom, že tam se žádné souvislosti v logické příčinnosti najít nedají. Takže je pro společnost málo nebezpečný člověk, který zasadí Nerudu do středověku. Oproti člověku, a to nemá nic společného s matematikou, který si umí spočítat, že nákup na 11 splátek není 10% navýšení ceny.
Matematika ho totiž naučí nad tím vůbec přemýšlet. Ale výpočet klidně nechá na někoho, kdo to umí. Dalo by se dokonce říci, že ve stále plynoucím čase budou z hlediska absolutního množství převažovat děti se schopností počítat, nad dospělými s toutéž schopností. Protože se to učí a trénují to. Ale počítání má s inteligencí asi tolik společného, jako kondice provést nějaký úkon.
Jistě nebude těžké nalézt dva lidi ve výborné kondici, ale salto bude umět jen jeden.
Přesto o potřebnosti kondice nikdo nediskutuje.
p.Simona
"Dělat závěr z jednotlivých ročníků je "logicky nevhodné" "
Naskočilo mi pár otázek.
Takže mezi ročníkově testy srovnávat je logicky nevhodné?
Proč to Cermat v Analýzách dělá a vytváří časové řady a tyto komentuje?
A proč prezentuje každý rok, že se studenti meziročně zlepšili či zhoršili, když je to nevhodné?
Dají se z maturit vůbec dělat nějaké závěry? A když ano, které jsou vhodné?
Nebo je jakkoliv nevhodné Analýzy Cermatu interpretovat?
K čemu takové Analýzy pak jsou?
Komu a k čemu slouží?
Matematika ho totiž naučí nad tím vůbec přemýšlet.
Takhle to rozhodně pravda není. Máte zjevně potíže vstřebat, co vám píšu. Matematika ho totiž může naučit nad tím vůbec přemýšlet.
Jádro pudla je v tom, že školní matematika to u naprosté většiny žáků nedělá. Mají jí totiž plné zuby. A podobně, jako někteří bezduše odříkávají životopisy českých spisovatelů nebo dějinné interpretace, jiní zase bezduše manipulují se symboly neznámých a konstant ve všelijakých rovnicích. Aniž by tušili, co ty symboly a operace s nimi znamenají. Špatně je to samozřejmě v češtině, dějepisu i v matematice.
Já mám třeba k potřebnosti té zmíněné kondice zcela zásadní argument: Za 5 let už nikdo žáky k "ručnímu" řešení rovnic nedonutí -- ať se nám to líbí, nebo ne. Navíc nemá smysl trénovat tuhle kondici u někoho, kdo nikdy matematická salta dělat nebude, protože mu je zošklivili už na prvním stupni ZŠ. Je nutná zásadní změna ve výuce matematiky, aby k tomu nedocházelo. Než se to ale změní, je potřeba takovým žákům dát možnost volby, aby se k přemýšlení mohli dopracovat v češtině, v dějepisu, v biologii nebo třeba v malbě.
A také z tohoto důvodu je nesmyslné trvat na maturitě z matematiky jako podmínce nutné pro vstup na vysokou školu. U škol uměleckých ostatně není podmínkou dokonce ani maturita sama, ani vyšší odborné vzdělání z konzervatoře.
Moje maturita byla asi taky odfláknutá...já stále nevím, jestli mám vstát...ale já na to přijdu:-)
ad rváčkazvesela
Nedělejte si z toho těžkou hlavu. Mnozí matematici dokážou velmi precizně, řekl bych formálně dokonale, formulovat naprosté pitomosti a vyžívat se v úpravách a interpretacích takových výroků. Pohrdají lidmi, kteří to natrénované nemají.
Mají-li se ale mimo matematiku relevantně vyjádřit k něčemu zásadnějším, bývají úplně mimo.
Zkuste třeba na chvíli jeden zápor ubrat a potom ho tam zase přidat.
Možná jsem nepochopil článek, ale proč se argumentuje obrázkem, který se ve fuj hnusném úplně nejhorším školství českém běžně používá?
Bývá takhle nebo hodně podobně v učebnicích.
To jako že je ten obrázek špatně? Protože učebnice ani školy dobře být nemohou, to je z jasné z "nářku".
Pravda, některé učebnici začínají obrázkem rovnoběžníku, jsou tam i nůžky, aby se odstřihla "šikmá" část, např. Herman a kol.: Matematika. Trojúhelníky a čtyřúhelník, Prométheus Praha, 1995, s. 98.
Podobná názorná odvození tam jsou na kde co.
Co si pamatuju, tak jiné učebnice byly dost podobné, jen barevnější.
...učebnice... Trojúhelníky a čtyřúhelníky... Omluva za překlepy.
Pane Snirchu, to, že Cermat něco dělá, není mou odpovědností. Ale je nad slunce jasné, že vzorek testovaných osob i testy samé jsou každý rok jiné. To je celkem logické. Nechcete snad, aby tentýž populační ročník každoročně skládal identický test, abychom mohli sledovat, jestli se náhodou nezhoršuje úspěšnost tohoto ročníku nad tím jediným testem. Tedy s podobnou otázkou se obracejte jinam. A protože je testovaný vzorek žactva pokaždé jiný, jde srovnávat meziročně jen s ohraničujícími podmínkami. To Cermat zdůrazňuje ale ti, kdo z jeho dat čerpají a činí své závěry, to naopak zamlčují.
ad Petr Portwyn
Možná jsem nepochopil článek, ale proč se argumentuje obrázkem, který se ve fuj hnusném úplně nejhorším školství českém běžně používá?
Konstatuji, že jste nezvolil psychologicky nejlepší cestu, jak mě přimět k reakci. Protože jsem ale zatím jádro Lockhartova "nářku" (lamentace, žalozpěvu -- jak chcete) jen naznačil a teprve k němu směřuji, přece jen zareaguji.
Už jsem se toho dotkl, když jsem výše reagoval na stesky, že se žákům nedá ukázat důkaz Thaletovy věty. Lockhart se dokonce explicitně zabývá také tímto poznatkem o tom, kde leží všechny pravé úhly nad danou přeponou. Označuje ho za nádhernou příležitost, jak žáci můžou pocvičit svou vynalézavost a představivost. Jenomže kritizuje právě to, že se žákům důkaz předvádí. Chce, aby na něj sami přišli, případně se tím "jevem" alespoň několik hodin zabývali a zkoumali ho.
S trojúhelníkem "v krabici" rozetnutým přidělanou výškou je to stejné. Podle Lockharta je na matematice krásný (a pro všechny žáky důležitý) především ten proces hledání jasných vysvětlení, proč něco platí. Důkaz vztahu pro obsah trojúhelníku je v tomto případě (pata výšky je uvnitř strany) jednodušší než důkaz Thaletovy věty. Lockhart chce, aby na něj žáci přišli sami (případně to zkoušeli).
Je vcelku zřejmé, že když takový úkol dostanou žáci vyučovaní do té doby transmisivně, tak si většina z nich ani neškrtne. A buď se do toho ani nepustí, anebo to velmi záhy vzdají. Proto je velmi důležité to, co dělá Hejného matematika: vede žáky od začátku školní docházky k tomu, aby si v podobných situacích věřili a měli určitou zásobárnu "fíglů", jak si v nich počínat.
Takže, mám-li shrnout, co Lockhart pokládá za nedostatek učebnic podobných těm, jež zmiňujete: učebnice předem prozrazují to, nač by žáci měli přijít sami. A potom je už samozřejmě dost jedno, jestli to učebnice dělají v barvě, nebo černobíle, s nakreslenými nůžkami, nebo bez nich.
Často se zde holedbáte svými učitelskými zkušenostmi, jistě nemalými. Proto mě skutečně zaráží, že jste o tomto elementárním rozdílu (prozradit vs. nechat objevit) zjevně vůbec nepřemýšlel. Protože kdybyste o něm přemýšlel, nemohl byste napsat, co jste napsal.
Pane Botlíku,
to nebylo na Vás. Nicméně děkuji za odpověď i za to, že jste mne poučil o psychologii. Od vzácně diplomatické osobnosti s mimořádným talentem získávat stoupence je to obzvláště cenné.
I vedení k zásobě fíglů musíte na něčem nacvičit - jinými slovy, je dobré žákovi ten první fígl ukázat, aby vůbec tušil, o čem je řeč. Pak už může další vymýšlet sám.
Bývá to efektivnější, než nechat je se v tom úplně od nuly plácat.
Někdo si myslí, že učitel má žákům pouze předkládat otázky, jiný, že jim má vše předžvýkat, a já se domnívám, že řada z nich potřebuje s prvními krůčky pomoci a že právě za toto jsem placen, ale že pak už mohou jít sami.
No a co se týká rozložitelnosti útvarů, tak fígl s trojúhelníkem bývá často onen první krůček.
Dichotomie "všechno transmisivně" vs. "neukážu vůbec nic" by nikam nevedla, jde o dva extrémy. Extrémní přístupy se obvykle neosvědčují. Kdybychom to vzali radikálně, nemohlo by být v učebnicích vůbec žádné vysvětlení, což by ovšem řadě dětí nevyhovovalo - na tom se předpokládám shodneme.
K Thaletově větě, resp. možnosti či nemožnosti důkazu jsem se nevyjadřoval. Stejně tak jsem se nevyjádřil k panu Hejnému, a ani se k němu vyjadřovat nemíním.
Ještě dodám, že kde končí první krůčky a kde začíná možnost "jít sám" je u každého dítěte jiné. Lidské bytosti se navzájem liší.
Problém je v tom, že v době, kdy se toto učí, už není dítě schopno "chápat". Už je schopno pouze reprodukovat. (1) A dnes se chápání nevyžaduje, když jím často neoplývají ani učitelé, nemluvě o reformátorech. (2)
... Kdykoli nějakému čtyřicátníkovi a staršímu dojde něco z matematiky z dětských let, vždycky dostane chuť na reformu matematiky. (3) Nedávno tady někomu docvakla záporná čísla a taky měl plné pero kritiky na svou dětskou výuku. (4)
Napsal PP 3. října 2019 6:08.
Jedna, s odpuštěním, nebetyčná PITOMOST za druhou: Všechny citované věty PP jsou evidentně nepravdivé. To, že někde něco existuje či platí, neznamená, že to existuje či platí ve všech možných případech. Důkaz jejich nepravdivosti (plynoucí ze svévolně demagogické záměny existenčního a obecného kvantifikátoru nickem PP) by, myslím, na této elementární logické úrovni zvládlo i snad i nadanější dítě z mateřské školy.
Možná by to být i vhodný námět na maturitní sloh typu "Úvaha nad neschopností či neochotou některých učitelů dbát na uplatňování elementární logiky".
:)))
...Možná by to MOHL být i vhodný námět na maturitní sloh typu "Úvaha nad neschopností či neochotou některých učitelů dbát na uplatňování elementární logiky"...
Zajímavá debata. V obecném rozměru souhlasím s panem Mirkem Vaňkem. Otázka pro pana Botlíka:"Kdy jste naposledy navštívil běžnou inkludovanou třídu druhého stupně v sociálně vyloučené lokalitě?"
"Velice často se pracuje jen se vzorci a začne počítat, aniž k pochopení pojmu dojde. Pak už se to dá jen biflovat (s krátkodobým účinkem)."
Pane Šnirchu, a jak tohle víte? Jak poznáte, že se to žák "jen" nabifloval (s krátkodobým účinkem)? Vy jste nějakého takového žáka snad učil?
"Takže, mám-li shrnout, co Lockhart pokládá za nedostatek učebnic podobných těm, jež zmiňujete: učebnice předem prozrazují to, nač by žáci měli přijít sami. A potom je už samozřejmě dost jedno, jestli to učebnice dělají v barvě, nebo černobíle, s nakreslenými nůžkami, nebo bez nich."
A co by tedy ty učebnice měly obsahovat? Když tam ten obrázek není, tak se Botlíček rozčiluje, že to je jako "říkat, jak nádhernou sochu Michelangelo vytvořil, ale neukázat ji", a když tam je, tak se zase zlobí, že to je vada takové učebnice, neb prozrazuje žákům předem, na co měli přijít sami. S Botlíčkem je to těžké. Hezké bábovičky umí dělat jen on. Ostatní jsou vždy vhodné pouze k rozšlapání.
"Když z analýzy Cermatu strana 41 vidíte, že studenti všech typu škol se v maturitě z matematiky v ukazateli neúspěšnost v roce 2019 v porovnáním s rokem 2013 zhoršili, aniž se test měnil a je tedy mnohem předvídatelnější a natrénovatelný , a to navíc dokonce dostali v roce 2019 15 minut, ukazuje to co? Že ten vzývaný nástroj je neúčinný? A proč?"
To neukazuje, že ten nástroj je neúčinný. Jeho cílem není žáky vzdělat, ale ověřit, že mají nějaké vědomosti a dovednosti. Proč se podle vás žáci zhoršili, když je test mnohem předvídatelnější a natrénovatelný? Mně to připadá, že si stále nějak protiřečíte? To chcete říci, že důvod, proč se studenti zhoršili, je existence ověřovacích testů? A jak ten mechanismus funguje? Ale konkrétně prosím.
Mnozí vyprávějí srdceryvné příběhy o tom, jak testy odvádějí od skutečné podstaty vzdělání. Budiž. Mnozí vyprávějí o tom, kterak testy jsou primitivní a umožňují projít i nabiflovanému prosťáčkovi a že si stačí koupit někde nějaké přípravné kurzy pro cvičené opice. Budiž. Ale proč tedy sakra ten podíl těch, kteří neprojdou, neklesá? Možná jste ve své argumentaci opomněl, že neklesá neúspěšnost v těch testech samotných, nikoliv v nějakém skutečném hlubokém vzdělání. Já bych pochopil, kdybyste měl v ruce nějaký zázračný měřič, který měří skutečné hluboké pochopení a po zavedení státní maturity byste soustavně získával nižší a nižší míru vzdělanosti. Pak by se dalo uvažovat o tom, že ty testy skutečně nějakým mechanismem skutečnému vzdělání do nějaké míry spíše brání (i když i to by se muselo ještě ověřit). Ale vy tady mluvíte o tom, že se zhoršují výsledky právě a pouze v tom primitivním testu. Jak tedy přesně usilovná příprava a zvyšující se předvídatelnost a natrénovatelnost vedou k tomu pozorovanému zhoršování výsledků v primitivním testu, který nevyžaduje přemýšlení?
I (to zdůrazňují) pod vlivem formy maturitního testu se zhoršila výuka. Učí se méně s pochopením, více na klíčový parametr rychlost. Což mnoho studentů nedá.
To, že forma závěrečného testu často ovlivní formu výuky jste četl jistě mnohokrát ze zahraničních zkušeností, takže to nemusím psát.
Takže těch 9 let testů již nese očekávané plody. Stačilo letos přidat 15 minut (ze 105 na 120) a zázračné meziroční zlepšení - náhoda? (i když z jednoho testu je brzy soudit, já vím).
PD. "Pak by se dalo uvažovat o tom, že ty testy skutečně nějakým mechanismem skutečnému vzdělání do nějaké míry spíše brání (i když i to by se muselo ještě ověřit)."
Ověřeno. Plus...
machine-scored standardized tests:
• Are unavoidably biased by social-class, ethnic, regional, and other cultural differences.
• Unfairly advantage those who can afford test prep.
• Radically limit teacher ability to adapt to learner differences.
• Provide minimal to no useful feedback to classroom teachers.
• Are keyed to the deeply flawed, knowledge-fragmenting “core” curriculum adopted in 1893.(US, pozn. TU)
• Have led to the neglect of play, music, art and other nonverbal ways of learning.
• Hide problems created by margin-of-error computations in scoring.
• Penalize test-takers who think in nonstandard ways (which the young frequently do).
• Give control of the curriculum to test manufacturers.
• Encourage use of threats, bribes, and other extrinsic motivators to raise scores.
Assume that what the young will need to know in the future is already known.
• Emphasize minimum achievement to the neglect of maximum performance.
• Produce scores which can be — and sometimes are — manipulated for political purposes.
• Create unreasonable pressures to cheat.
• Use arbitrary, subjectively-set pass-fail cut scores.
• Reduce teacher creativity and the appeal of teaching as a profession.
• Lessen concern for and use of continuous evaluation.
• Have no “success in life” predictive power.
• Unfairly channel instructional resources to learners at or near the pass-fail cut score.
• Are open to scoring errors with life-changing consequences.
• Are at odds with deep-seated American values about individuality and worth.
• Create unnecessary stress and negative attitudes toward schooling.
• Perpetuate the artificial compartmentalization of knowledge by field.
Channel increasing amounts of tax money away from classrooms and into corporate coffers.
• Waste the vast, creative potential of human variability.
• Block instructional innovations that can’t be evaluated by machine.
• Unduly reward mere ability to retrieve secondhand information from memory.
• Subtract from available instructional time.
• Lend themselves to “gaming” — strategies to improve the success-rate of guessing.
• Make time — a parameter largely unrelated to ability — a factor in scoring.
• Create test fatigue, aversion, and eventual refusal to take tests seriously.
• Hide poor quality test items behind secrecy walls.
• Undermine a fundamental democratic principle that those closest to the work are best positioned to evaluate its quality.
• According to the National Academy of Sciences report to Congress, don’t increase student achievement.
https://www.washingtonpost.com/news/answer-sheet/wp/2017/04/19/34-problems-with-standardized-tests/
Profesor Budil:
Degenerace se nejvíce projevuje právě v humanitních oborech. „Zakladatelé humanitních věd byli renesančními osobnostmi s obrovským přehledem. Problém byl v tom, co se stalo s těmito vědami později. Teď navíc ty obory začaly plnit objednávku masového vysokoškolského vzdělání od 60. let. Čím více studentů musí školy vzdělávat, tím víc se snižuje jejich intelektuální laťka. A když ji neustále snižujete, tam dole vespodu je pak ideologie. Nejnižší laťka v dějinách vědy je její ideologizace,“ tvrdí profesor Budil a vývoj mu dává za pravdu. Oč je studentstvo méně vzdělané, o to je pak emotivnější a názorově vyhraněné.
„Nebylo to původně v plánu, kdyby to otcové zakladatelé společenských věd Dürkheim, Weber a Mauss dneska viděli, tak by se zděsili.“
Důvod úpadku vzdělávacího systému vidí profesor Budil v tom, že fakulty jakožto státní instituce musely plnit poptávku po masovém vzdělání v duchu „čím víc vysokoškoláků vyrobíme, tím budeme chytřejší“. Kýžený efekt to samozřejmě nepřineslo, protože nároky se musely rapidně snížit, aby sítem prošel každý zájemce. „Školy snížily intelektuální laťku natolik, že se staly ideologiemi. Rezignovaly zcela na intelektuální program, nasákly neomarxismem, genderismem, multikulturalismem a staly se ideologiemi. Jenže společnost pro všechny ty absolventy nemá místo, a tak neprosperuje. Vytvářejí se sice umělá místa, ale to nestačí.“
O tom, že myšlenky pana profesora Budila je třeba brát s rezervou, svědčí například to, že se nedávno účastnil jako řečník "vlasteneckého setkání" po boku například Petra Hampla, Jaroslava Foldyny, Tomáše Vandase nebo Michala Semína. Za řečníky byly reklamy na konspirační média Šifra a RaptorTV... Je ostatně čerstvým členem Trikolóry...
Strojově vyhodnocované standardizované testy
1. jsou nevyhnutelně neobjektivní k sociálnětřídním, etnickým, regionálním a jiným kulturním rozdílům.
2. nespravedlivě zvýhodňují ty, kteří si mohou dovolit přípravu na testy.
3. radikálně omezují možnost učitele vzít v úvahu rozdíly mezi žáky.
4. poskytují minimální až nulovou užitečnou zpětnou vazbu tomu, kdo testované žáky vyučuje.
5. vycházejí z fragmentovaných znalostí stanovených kurikulem z roku 1893, zatíženým zásadními chybami.
6. vedly k opomíjení dramatické, hudební a výtvarné výchovy a jiných neverbálních způsobů učení.
7. zastírají problémy způsobené statistickou chybou při počítání úspěšnosti.
8. penalizují ty testované žáky, kteří uvažují nestandardně (což je mezi mladými lidmi časté).
9. dávají vládu nad kurikulem do rukou výrobců testů.
10. podporují užití výhrůžek, úplatků a jiných prostředků vnější motivace k dosažení lepších výsledků.
11. předpokládají, že už se ví, co budou mladí potřebovat v budoucnosti.
12. zdůrazňují nejslabší ještě postačující výsledek na úkor nejlepšího výkonu.
13. produkují výsledky, které mohou být – a někdy jsou – zmanipulovány pro politické účely.
14. vytvářejí bezdůvodné tlaky podvádět.
15. používají svévolně, subjektivně nastavené hranice úspěšnosti.
16. snižují tvořivost učitelů a přitažlivost učitelské profese.
17. snižují péči o průběžné hodnocení a míru jeho užívání.
18. jsou zcela nespolehlivé při předpovídání „úspěšnosti v životě“.
19. nespravedlivě směřují vzdělávací zdroje k žákům v okolí hranice úspěšnosti.
20. umožňují chyby v hodnocení, které mají důsledky na další životní osudy žáků.
21. odporují hluboce zakořeněným americkým hodnotám spojeným s individualitou a kvalitou.
22. vytvářejí zbytečný stres a negativní postoje ke vzdělávání ve škole.
23. opakují umělé dělení poznatků podle oborů (předmětů).
24. směřují stále větší objem výnosů z daní pryč z učeben do pokladen korporací.
25. plýtvají obrovským tvořivým potenciálem lidské rozmanitosti.
26. blokují inovace ve vzdělávání, jejichž dopady nelze strojově vyhodnocovat.
27. přehnaně oceňují pouhou schopnost vybavit si v paměti druhořadé poznatky.
28. zmenšují objem času využitelného pro výuku.
29. umožňují tipování – tedy „herní“ strategie vedoucí k úspěšnému hádání.
30. dělají z času – tedy parametru velmi málo souvisejícího se schopnostmi – faktor při hodnocení.
31. vytvářejí únavu z testování, odpor k testům a mohou vést také k braní testů na lehkou váhu.
32. vedou k utajování úloh s nízkou kvalitou.
33. podrývají základní demokratický princip, že nejlepší pozici k hodnocení kvality práce mají ti, kteří jsou jí nejblíže.
34. podle zprávy Národní akademie věd pro Kongres nezlepšují výsledky učení.
Pan Tajný
Jinými slovy mix politiky a multikulti propagandy (např. "Are unavoidably biased by social-class, ethnic, regional, and other cultural differences."), silně diskutabilních závěrů (např. "Provide minimal to no useful feedback to classroom teachers."), hledisek nesouvisejících s ČR (např. "curriculum adopted in 1893"), nepravd (např. "Block instructional innovations that can’t be evaluated by machine.") a argumentů, které smysl mají (např. "Channel increasing amounts of tax money away from classrooms and into corporate coffers.").
Celkově je to dost pejskokočičkovská směs.
Dovolil bych si podotknout, že “success in life” se nedá předpovědět prakticky vůbec.
Netvrdím, že americkou posedlost testováním všeho možného považuji za následováníhodný příklad. Že americké školství není v některých směrech ideální, vím ze zkušenosti. Jsem přesvědčen, že existují seriózně vedené studie na téma "testy v USA". Citovaný článek však působí silně aktivisticky.
Článek se evidentně týká US praxe. Souvislost s maturitou v ČR je nevelká.
Ještě bych dodal, že když se v USA údajně pořád trénuje na testy "zaškrtávací formou", což tvrdí i američtí učitelé, člověk by čekal, že žáci budou mít velké penzum "nadrcených" znalostí. Pokud ale člověk potká živého Američana, tak těch znalostí obvykle moc nemá.
Za druhé se pořád píše, že pamětní učení je důkaz české zastaralosti a že v USA je to jiné, že se tam učí hlavně "jak to použít". Není mi jasné, proč tedy tolik používají uzavřené zaškrtávacími testy. (To, že ani s praktičností a improvizací to v realitě moc slavné není, aspoň jak říkali známí, co tam žili, je další věc.)
Pan Portwyn, průměrný Američan je produktem zabudované vady standardizovaných testů, jmenovitě jejich nešťastné dispozice k pěstování kultury krátkodobých znalostí na jedno použití a zároveň možnosti amerických žáků studovat pouze ty předměty, které chtějí.
Bod 1 je bohužel platný. Kdo nemá koruny na přípravy, ať už z jakéhokoliv důvodu, je v testech, zejména přijímacích, znevýhodněn.
U bodu 5 je jedno zda je o US nebo ČR. Test znalosti fragmentuje do testem měřitelných částí.
Bod 26. Inovace ve výuce, které nejsou testy měřitelné, budou zákonitě v kultuře testu omezeny, nemyslíte?
Pan Tajný
Já jen že nám říkali něco jiného. USA náš vzor a tak.
Že se to tam s centálně udělanýi testy přehání, jsem slyšel. Tady dělá žák standardizovaný test dejme tomu 4 x za život.
"...a zároveň možnosti amerických žáků studovat pouze ty předměty, které chtějí" - ano, to jsem mj. měl na mysli.
Bod 1 - tam možná ano, tady až tak ne. Ovšem s tou etnicitou bych byl opatrný, pokud tedy nemyslí zvýhodňování, což asi nemyslí.
Lidé prostě fungují v různých podmínkách. Když já se s dětmi večer učím, zatímco někdo druhý chlastá a o děti se nestará, tak samozřejmě moje děti mají výhodu. Proto to dělám... Jestliže systém moje děti potrestá za to, že se o ně starám, bude to hrubá nespravedlnost.
Bod 5 mluví o americkém kurikulu.
Bez nějakého strukturování ("fragmentace") mátejako výstup jen dojmy.
Inovace klidně mohou být omezeny v testu, ale to nebrání učiteli je provozovat. Já nějaké inovace zkouším každou chvíli.
Tak v USA jednak ve velké části států, ne-li ve všech, ale to nevím, všude jsem nebyl, žádná maturitní zkouška není, prostě přežijete docházení do školy a na závěr si dáte na hlavičku pěknou čepičku - téměř klaunskou. Úroveň tragická.
"plýtvají obrovským tvořivým potenciálem lidské rozmanitosti."
:-))))
Máte někde nějaké přihlášky do té sekty? A stanovy? Něco na způsob desatera - rovného slova o ďábelských testech vyřknouti nesmíš?
Pane Komárku, diskutujte věcně. Tj. nikoliv k osobě, ale k myšlenkám. Sám nás k tomu nabádáte, ale příkladem nejdete.
Success in life je věcí individuálního vnímání. Pro někoho je úspěchem to, co pro jiného neúspěchem. Podstatou úspěchu je podle mě vystačit si s málem. Kdo si vystačí s málem, je bohatý. A je jedno, jestli jde o materiální statky, nebo bůhvíjaké duchovnosti.
Jinak ten seznam je snůška výkřiků. Markeťáci si sedli a napsali všechna "CONS", která je napadla. Asi dostali zaplaceno za čapkoidní SWOT analýzu (pro neznalé - to je taková pseudoanalýza založená na vytvoření čtyř seznamů pojmů, které "inovativního" myslitele usilovným "přemýšlením" napadnou). Nic z toho sice neplyne, nijak se to neověřuje, ale zní to vědecky, nebo alespoň "korporátně". Něco jako Six sigma black belt, i když u toho se alespoň v názvu odráží nějaký statistický pojem.
Tajnej, s nima se nebudu pouštět do diskuse o tom, co je a co není ověřeno, protože to nemá smysl. My dva nevnímáme stejně ani pojem "ověřeno", ani pojem vzdělání a ztrácet čas dokážu i příjemněji. Jen bych si dovolil upozorniti, že "biased" ve statistice neznamená "neobjektivní", nýbrž "vychýlený".
Pane Doležele, nemáte pravdu ohledně té nevěcné argumentace ad hominem. V příspěvku, na který jsem reagoval jsou citace prof Budila k "genderismu, neomarxismu, multikulturalismu" a úrovni vzdělávacího systému... Že se profesor Budil pohybuje aktuálně ve společnosti národovců typu Semína a Vandase a politiků a odborníků na školství typu Klause mladšího je důležitý kontext. To, že propaguje magazín Šifra a televizi RaptorTV je důležitá informace o tom, jak chápe například mediální gramotnost, práci s informacemi, kritické myšlení ap...
Velice děkuji pane Komárku za upozornění.
To profesoru Budilovi dost přidává na věrohodnosti.
A to, co jste byl nucen pustit do éteru o profesoru Budilovi, svědčí mnohem více o vašem charakteru, než o jeho. Vzhledem k tomu, že jde o polemiku na dané, a tedy jiné, téma.
Success in life je věcí individuálního vnímání. Pro někoho je úspěchem to, co pro jiného neúspěchem. Podstatou úspěchu je podle mě vystačit si s málem. Kdo si vystačí s málem, je bohatý. A je jedno, jestli jde o materiální statky, nebo bůhvíjaké duchovnosti.
Zajímavé kritérium. Nevím, zda jde o podstatu úspěchu, ale pro pocit osobní spokojenosti to určitě důležité je.
Dodal bych, že pojem "málo" je taky subjektivní. Co jednomu připadá až dost, je pro druhého málo. Zejména, když to vnímá tak, že "má nárok" na víc.
Okomentovat