V diskusi pod upoutávkou na text o Marii Králové z Masarykovy univerzity v Brně se objevila mimo jiné také otázka: On existuje nějaký jiný, alternativní postup jak vynásobit dvě jednociferná čísla, spočítat přímou úměru, nebo 25 % z celkového počtu? Jiné postupy samozřejmě existují, například 9×7=(10×7)–7, přičemž druhý způsob může být při počítání s většími násobky čísla 9 dokonce efektivnější. Obdobně platí, že 25 % ze 600 je jak 25×(600/100), tak 600/4. Škola by měla vést žáky k tomu, aby souvislosti mezi různými postupy vnímali a dokázali je využívat. Pokud byl citovaný učitel matematiky při psaní střízlivý, nelze už asi brát vážně žádné jeho vyjádření k cílům výuky matematiky, k metodám ani k jejich výsledkům. Podstatě svého oboru zjevně nerozumí.
Podobné úlohy se žáci učí ve škole řešit tak, že nejdříve spočítají, kolik zákazníků připadá na 1 díl ze 13. Vydělí tedy hodnotu 754 číslem 13 a dostanou mezivýsledek 58. Ten vynásobí číslem 7, aby zjistili počet zákazníků odbavených na běžné pokladně: 406. Pak počty sečtou (754+406=1 160), součet vynásobí číslem 5 (počet dnů) a dospějí ke správnému výsledku 5 800 zákazníků. Problémy nastávají u žáků, kteří se takové postupy učí bez porozumění. Ti dokážou umístit do vstupů svého algoritmu jakákoli čísla, na která v zadání narazí (zde třeba také 15). Mohou chybovat rovněž jejich umístěním do nevhodných míst na vstupu. Chyba jim ale obvykle unikne a dál už „jedou“ podobně jako počítač. Navíc často nedokážou ani správně rozpoznat, která situace je pro použití zvoleného algoritmu vhodná, a která naopak ne. Protože povaze situace a jejímu vztahu k algoritmu nerozumějí, reagují jen na „signály“, které v zadání najdou. Signály však mohou být zavádějící, jak potvrdil například test projektu Kalibro v roce 2004. Plné dvě pětiny ze 14,6 tisíc deváťáků a téměř třetina z 2,0 tisíc jejich vrstevníků na víceletých gymnáziích v něm tehdy označily za úlohu na nepřímou úměrnost toto zadání: Houslové trio hraje určitou skladbu 6 minut. Jak dlouho bude hrát stejnou skladbu smyčcové kvarteto?
 |
| Oldřich Botlík (eduin.cz) |
Naše úloha má samozřejmě řadu obměn, kvůli nimž je třeba obměňovat rovněž výchozí algoritmus. Příkladem obměny úlohy je například to, že součástí zadání zůstává poměr 13:7, žáci znají celkový počet odbavených zákazníků za 5 dní a mají vypočítat průměrný počet zákazníků, který za den odbaví běžná pokladna. Logické jádro algoritmu sice zůstává pořád stejné, ale ti žáci, kteří mu (jádru, příp. algoritmu) nerozumějí, nedokážou algoritmus změnit sami, a snaží se proto (často s velkou nechutí) učit nazpaměť také jeho obměny. Většinou opět bez jistoty, že správně rozpoznají, kterou obměnu mají použít a čím obsadit její vstupy.
K zásadní obměně úlohy ovšem dojde, pokud se původní zadání stane součástí zaškrtávacího testu a žáci svou odpověď vybírají z nabídky (A) až (D). Například z této: (A) 3 460 zákazníků, (B) 4 690 zákazníků, (C) 5 800 zákazníků a (D) 6 940 zákazníků.
Za prvé, žáci, kteří nedokážou původní úlohu úspěšně vyřešit naučeným postupem, získávají šanci uspět náhodným tipováním. Pravděpodobnost úspěchu 0,25 bývá často vyšší než pravděpodobnost, že vyberou správný algoritmus, správně obsadí jeho vstupy hodnotami ze zadání, během práce algoritmus dodrží a při výpočtech neudělají žádnou početní chybu. To je hlavní příčinou známého jevu, k němuž dochází, když je část zaškrtávacích úloh v testu nahrazena úlohami otevřenými (tedy bez nabídky). Průměrná úspěšnost žáků může při větším rozsahu takové změny poklesnout až o desítky procentních bodů. Jinak řečeno, uspokojivá průměrná úspěšnost žáků v zaškrtávacím testu může být pouhou Potěmkinovou vesnicí.
Za druhé, žáci, kteří dokážou využít poznatek, že expresní pokladna odbaví necelý dvojnásobek počtu zákazníků odbavených běžnou pokladnou, můžou postupovat výrazně rychleji. Stačí, když si uvědomí, že běžná pokladna musí za den v průměru odbavit cca 400 zákazníků. Denní úhrnný výkon obou pokladen pak musí být kolem 1 150 zákazníků, což za 5 dní obnáší cca 5 750 zákazníků. Je ihned zřejmé, že možnosti (A), (B) a (D) jsou ze hry.
Za třetí, nejrychleji můžou uspět žáci, kteří rozumějí tomu, že pro výpočet má zásadní význam jedna dvacetina úhrnného denního výkonu obou pokladen (neboť oba výkony jsou v poměru 13:7; 20=13+7). Ať už ta dvacetina představuje jakýkoli počet zákazníků, úhrnný výkon obou pokladen za 5 dní proto musí být celým násobkem čísla 100. A to platí jedině o možnosti (C) a výsledku 5 800 zákazníků.
Přidání nabídky výsledků tedy způsobilo, že žáci řeší úlohu hodně odlišnou od té, kterou jsme začali. Stále však mohou využívat vztahy mezi veličinami, které existují rovněž ve výchozí úloze. Pokud by chtěl autor zaškrtávací verze úlohy nutit všechny žáky do standardního postupu řešení, musel by nabídnout jiné odpovědi, například 5 500, 5 600, 5 700 a 5 800. Přítomnost jakékoli nabídky však svádí zvláště slabší žáky k náhodnému tipování správného výsledku, což může být v jejich případě nejlepší krátkodobá strategie.
Závěr: Nechci zpochybňovat význam algoritmů pro výpočty související s přímou úměrností či s rozdělením celku v daném poměru. Při jejich zvládání se žáci mohou (ale nemusejí) naučit také poznat, v jakých situacích je jejich použití vhodné, mohou si (ale nemusejí) osvojit odhadování velikosti výsledku či test jeho správnosti třeba pomocí dělitelnosti. Z toho všeho je ovšem právě samotný algoritmus nejméně důležitý. Není totiž daleko doba, kdy budou všechny takové postupy volně ke stažení pro libovolný smartphone, a to v přehledném uspořádání, user-friendly a se srozumitelnými návody. Pak už bude opravdu téměř nemožné donutit žáky, aby do úmoru počítali typové úlohy, aniž by chápali smysl takových činností a hledali si v nich něco užitečného pro sebe. Prostě se rozhodnou dělat něco rozumnějšího a s většinou z nich už nikdo „po zlém“ nehne. Možná, že ta doba nastává právě teď.
Jak mínil jiný diskutující, většina české výuky „matematiky“ je drilování výpočetních algoritmů a výcvik rozpoznávání signálů k tomu, který algoritmus použít. Souhlasím rovněž s tím, že nicotný přínos takové výuky nemůže vyvážit její negativní dopady na postoje velké části žáků k matematice (mj. znechucení a pocit, že nemá smysl pokoušet se zvládnout něco tak obtížného). O tom, u kolika žáků má taková výuka mizerné výsledky a jak vypadají, jsem už před časem psal zde.
Citovanou diskusi naleznete zde
3 komentářů:
Oldřich Botlík: Porodí devět žen dítě za jeden měsíc?
Samozřejmě, že v průměru ano, otěhotní-li všech devět donositelek ve stejný den a nebudou-li tam vícerčata. :)))
Tak vás tady po téměř roční absenci všechny zdravím a nebojte zase se tady urychleně odmlčím, ale následující botlíkovinu skutečně nemohu nechat bez komentáře.
"Není totiž daleko doba, kdy budou všechny takové postupy volně ke stažení pro libovolný smartphone, a to v přehledném uspořádání, user-friendly a se srozumitelnými návody. Pak už bude opravdu téměř nemožné donutit žáky, aby do úmoru počítali typové úlohy, aniž by chápali smysl takových činností a hledali si v nich něco užitečného pro sebe."
Vážený pane Botlíku, nemáme sice dobu, kdy všechny postupy v přehledném uspořádání jsou k dispozici ke stažení ve smartphonu, ale máme dobu, kdy má žák všechny potřebné postupy k dispozici v učebnici a představte si, že i se srozumitelnými návody, na kterých pracovaly generace didaktiků. Nu a představte si, že žáci s nimi tak jaksi sami od sebe (třeba, když onemocní) nedokáží či nechtějí pracovat, a to ani na gymnáziu natožpak na základní škole. A tak se tedy jako malé dítě těším na dobu, kdy to tedy podle Vás bude všechno v těch zázračných smartphonech, a děti se zázračně změní a budou schopny a ochotny pracovat s návody k řešení bez předchozího propočítání alespoň několika typových úloh a tedy v podstatě bez jakékoliv předchozí výuky matematiky. Jen mám obavu, že se nedočkám, tak jednoduché to s tou výukou matematiky nebude.
A tak bych řekla, že ani není tak nutné, aby devět žen porodilo dítě za jeden měsíc, ale že by bylo přinejmenším vhodné, kdyby Botlík, který nikdy neučil na základní škole a který učil na střední škole jen po dobu limitně blížící se nule, nerodil devět botlíkovin za jeden měsíc.
Všem přeji pěkné Vánoce a následující rok.
A tak se tedy jako malé dítě těším na dobu, kdy to tedy podle Vás bude všechno v těch zázračných smartphonech, a děti se zázračně změní a budou schopny a ochotny pracovat s návody k řešení bez předchozího propočítání alespoň několika typových úloh a tedy v podstatě bez jakékoliv předchozí výuky matematiky.
To by se dalo nazvat absolutním nepochopením textu. Případně jeho (záměrným???) zkreslením.
Nenapsal jsem, že ke stažení do každého smartphonu bude všechno – psal jsem výhradně o algoritmech, tedy o výpočetní části řešení reálných problémů, v našem případě srovnávání výkonů pokladen v supermarketu. Jeho nejobtížnější částí je totiž právě vytvoření relevantního modelu, jak je ostatně vidět na obrovských potížích žáků při řešení slovních úloh.
A rozhodně jsem nenapsal jediné slovo o tom, že předpovídaný stav přivede žáky k tomu, aby tyto aplikace chtěli a uměli používat v podstatě bez jakékoli předchozí výuky matematiky. Jsem si dokonce poměrně jist (a také jsem vysvětlil důvod), že výsledky výuky se v nových podmínkách ještě výrazně zhorší. Kdo chce, může o tom přemýšlet třeba na příkladu pomůcky, jejíž vstup do škol už proběhl: kalkulačky, případně programovatelné kalkulačky.
Mimochodem, paní Adamová, na které základní škole působíte? A pod jakým skutečným jménem?
Okomentovat