Irena Budínová: Vědí žáci, co je čtverec?

Otázka z názvu se zdá být zcela zbytečná. Jistěže žáci vědí, co to je čtverec! To ví přece každý. Jenže to, že žák pozná na obrázku čtverec, ještě vůbec neznamená, že tento pojem zná. Ten, kdo ví, co to je čtverec, by dokázal někomu jinému, který čtverec ještě nikdy v životě neviděl, slovně popsat tento pojem. A to už tak jednoduché není.

Irena Budínová (linkedin.com)

Holandský středoškolský učitel van Hiele se svojí manželkou dlouhá léta zkoumali to, jak dochází u žáků k osvojování geometrických pojmů. Došli k teorii, která sestává z pěti úrovní (van Hiele, 1986):

1. Úroveň vizualizace: Na této úrovni žáci obvykle vstupují do školní povinné docházky. Geometrický útvar posuzují podle toho, jak na ně útvar vizuálně působí. Mají-li se např. rozhodnout o tom, zda je útvar trojúhelník, snaží se z paměti dostat informaci, zda takto vypadající útvar byl již v minulosti označen jako trojúhelník. V této fázi jsou rizikem prototypy daných útvarů, podle kterých se žáci řídí. Prototypem trojúhelníku je rovnoramenný trojúhelník stojící na základně, prototypem čtverce je „tak akorát velký“ čtverec stojící na straně. Jsou to obrázky, se kterými se žáci nejčastěji setkávají v učebních materiálech. Důsledkem může být to, že žák např. odmítne označit jako trojúhelník tupoúhlý trojúhelník, protože se s ním ještě nikdy jako s trojúhelníkem nesetkal. Pro žáka je v této fázi důležité, aby se setkával s množstvím příkladů a protipříkladů, díky nimž si postupně upřesňuje svoje představy o pojmu.

2. V okamžiku, kdy žák začne uvažovat o vlastnostech útvaru, se posunuje na vyšší úroveň geometrického myšlení, což je analýza. K přechodu na úroveň analýzy může dojít v průběhu 3. až 4. ročníku základní školy (Aktas Arnas, & Altun, 2010). Van Hiele usuzoval, že tento přechod je ostrý, že se žák nachází buď na jedné nebo na druhé úrovni. Pozdější výzkumníci získali spíše zkušenost, že přechod je pozvolný. Např. Clements uvádí, že existuje období, v němž žáci využívají vizuální i analytické atributy objektu současně (Hannibal, & Clements, 2000). Nejen že žák může u jednoho objektu být na úrovni vizualizace a u jiného na úrovni analýzy, ale dokonce u jednoho a téhož objektu může být někde na pomezí obou úrovní (Aktas Arnas, & Altun, 2010; Budínová, 2016).

3. Úroveň neformální dedukce: Žák si již dobře uvědomuje vlastnosti útvaru a díky tomu může zvažovat pravdivost některých tvrzení o útvaru. Pokud probíhají správně předchozí dvě fáze, žák by se měl na tuto úroveň dostat během 2. stupně, řekněme v 8. ročníku.

4. Úroveň dedukce: Z hlediska základní školy nás tato úroveň tolik nezajímá, protože k ní dochází obvykle až na střední škole.

5. Axiomatizace: Formálně budovaná teorie, na tuto úroveň by se měli dopracovat lidé, kteří studují geometrii na vysoké škole.

Dnes je tato teorie celosvětově uznávaná, byla mnohokrát potvrzena četnými výzkumy a byly v ní provedeny jen nepatrné korekce.

Velmi zajímavý z hlediska základní školy je přechod z úrovně vizualizace na úroveň analýzy, ke kterému má dojít během 4. ročníku ZŠ. Žák začíná uvažovat o vlastnostech objektů a tím si vytváří své vlastní definice, nejdříve naivní a rovněž nepřesné. Úkolem učitele je tyto definice zpřesňovat pomocí nabízení příkladů a protipříkladů, pomocí kterých si žák uvědomuje stále více souvislostí.

Ve výuce, ve které se žádné definice nevyskytují, případně jsou žákům předávány v hotové formě a žáci si je pamětně osvojují, aniž by jim rozuměli, dochází k celé ředě nepřesností. Po tři roky jsem testovala žáky 4., 6. a 8. ročníku základní školy na poznatky o základních pojmech rovinné geometrie – čtverec, trojúhelník, obdélník, kruh. Testování se doposud účastnilo 117 žáků 4. ročníku, 128 žáků 6. ročníku a 78 žáků 8. ročníku. Uvedené ročníky jsem vybrala záměrně. Čtvrtý ročník proto, že dle van Hielovy teorie by již žáci měli být na úrovni analýzy. Šestý ročník proto, že se během něj probírá učivo o úhlu, což je pojem pro chápání rovinných útvarů a jejich vlastností klíčový. Osmý ročník proto, abych zachovala odstup dvou let, a také proto, že žáci v druhém pololetí 8. ročníku jsou pro testování motivovanější než v 9. ročníku. Navíc žáci by již v 8. ročníku měli být na úrovni neformální dedukce a jejich poznatky by se od žáků 9. ročníku neměly zásadně lišit.

Testování ukázalo nejčastější miskoncepce (nesprávně představy) žáků o pojmech rovinné geometrie. V případě čtverce si žáci utvářeli nejčastěji čtyři miskoncepce:

- Čtverec otočený oproti prototypické poloze o 45° je kosočtverec.
- Čtverec je útvar, který má všechny strany stejně dlouhé.
- Čtvercový tvar se zaoblenými rohy je čtverec.
- Útvar, který je kosočtverec, a je postavený na stranu, je čtverec.

V případě první miskoncepce z testování vyplynulo, že velice často žáci desinterpretují předponu „koso“ (Budínová, 2017b). Původně jsem si myslela, že žáci, kteří pootočený čtverec považují za kosočtverec, jsou ti, kteří se nacházejí na úrovni vizualizace a rozhodují se podle toho, jak na ně útvar působí. V testování se ale ukázalo, že většinou jsou to žáci, kteří opravdu nepochopili předponu “koso“. Pokud totiž čtverec nebyl otočen o plných 45°, označili ho jako čtverec. Jako kosočtverec jej označili pouze v případě, že byl otočen o 45°.

Na obr. 1 vidíme odpovědi žáka 4. ročníku, který se domnívá, že otočením se ze čtverce stane kosočtverec. Dále vidíme, že žák intuitivně chápe, že obrázek nahoře vpravo není čtverec, ale chybí mu pojem pravého úhlu. Ten vynahrazuje termínem „na šikmo“. Rovněž pojem „strana“ nahrazuje jinými názvy, jako „okraj“ nebo „hrana“.

V případě druhé miskoncepce jsem usoudila z výsledků, že žáci, kteří mají přesvědčení, že čtverec je útvar se shodnými stranami, nedostali dostatek podnětů k tomu, aby si uvědomovali různé vlastnosti čtverce. Ze všech atributů pojmu čtverec uvedli jen jediný – shodnost (v jazyce žáků „stejná délka“) stran. Přitom žáci neuvedli to, že čtverec:

- je rovinný útvar;
- má právě 4 strany;
- má právě 4 shodné (pravé) úhly.

Třetí miskoncepce se nejčastěji dopouštějí žáci, kteří zůstávají na úrovni vizualizace. Každý útvar, který jim připomíná čtverec, jako čtverec pojmenují. Počet žáků s touto miskoncepcí se snižuje od 4. do 8. ročníku, ale i v 8. ročníku se našli žáci, kteří stále miskoncepci měli. Na obr. 2 vidíme odpovědi žákyně 6. ročníku, která se nachází na pomezí vizualizace a analýzy. Některé vlastnosti si uvědomuje, ale nedokáže je vždy správně interpretovat a je nejistá. Útvar se zaoblenými rohy označila jako čtverec. Přestože má již probraný pojem úhlu, u druhého obrázku (kosočtverce) jej nepoužila.

Také další obrazce čtvercového tvaru žáci označovali za čtverec, ale nejčastěji to bylo v případě právě útvaru se zaoblenými rohy.

Čtvrtá miskoncepce je dle mého názoru důsledkem absence pojmu úhel1 v době, kdy si žáci mají uvědomovat vlastnosti čtverce. Opět se zde také projevilo přesvědčení mnoha žáků, že čtverec je útvar se stejně dlouhými stranami.

Na obr. 3 vidíme, že žák označuje kosočtverec nahoře vpravo jako čtverec, protože „nahlost“, jak vlastnost označuje, čtverec podle něj nijak neovlivní. Nelze přehlédnout ani to, jak žák zapisuje slovo „nahlý“, či správněji „nahnutý“. S mnoha hrubkami nejrůznějšího charakteru jsem se setkávala zcela běžně.

Z testování bylo zřejmé, že miskoncepcí postupně ubývá vzhledem k vyšším ročníkům. Nicméně ani žáci 8. ročníku, kteří by již bez pochyb měli znát všechny vlastnosti čtverce a umět je také aktivně využívat v různých úlohách konstrukčních, početních či důkazových, nedokázali zmínit všechny důležité vlastnosti čtverce. Nejčastěji chyběla právě kolmost sousedních stran. V úloze, v níž měli žáci dokončit větu „Čtverec je…“ a tím vymezit pojem čtverce, odpovídali nejčastěji takto:

Z výsledků, které jsem získala, usuzuji, že celá řada žáků během celé základní školy nepochopí, co to je čtverec. Hlavní důvody jsou podle mě dva:

1. Vágně formulované kurikulum, ze kterého není jasné, ve kterém ročníku si má žák pojem osvojit, na jaké úrovni, a jakými prostředky k němu má dojít. Nechat učitelům volnost v rozhodování je krásná věc, ale učitelé ani po absolvování pětiletého studia (ve kterém je didaktice matematiky stále věnována pozornost jen okrajově – já mám např. na probrání celé geometrie

2. stupně pouhých 9 týdnů!) nemohou znát všechna témata do detailu. 2. Absence používání pomůcek. Tento přístup je u nás dlouhodobě zakořeněn. V několika třídách, ve kterých jsem testovala, učitelé používali pomůcky každou hodinu (z rovinné geometrie např. zalaminované obrazce určené k třídění a klasifikaci) a hned bylo poznat, že žáci si v těchto třídách utváří představy o pojmech mnohem přesněji.

Přitom definice, ke které by mohli dojít již ve 4. ročníku, je celkem jednoduchá: Čtverec je rovinný útvar, který má právě 4 shodné strany a sousední strany svírají pravý úhel (správných formulací je celá řada).

Literatura:

Arnas Aktas, Y., & Aslan, A. G. D. (2010). Children’s Classification Of Geometric Shapes. Çukurova Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Dergisi.
Budínová, I. (2016). Developing the Conceptions of the Notion Square at Elementary School. Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae, ročník XV., číslo 4. Ružomberok: Verbum.
Budínová, I. (2017a). Progressive development of perception of the concept of a square by elementary school pupils. In Novotná, J., Moraová, H. (Eds.) International Symposium Elementary School Teaching (pp. 109-118). Prague: Charles University, Faculty of Education.
Budínová, I. (2017b). Vytváření představ základních geometrických pojmů u žáků prvního stupně základní školy: čtverec a obdélník. Učitel matematiky. Praha: JČMF
Hannibal, M. A. Z., & Clements, D. H. (2000). Young children’s understanding of basic geometric shapes. National Science Foundation, Grant number: ESI-8954644.
van Hiele, P. M. (1986). Structure and insight: a theory of mathematics education. Orlando: Academic Press.


(Autorka působí na katedře matematiky Pedagogické fakulty MU, kde přednáší mimo jiné didaktiku matematiky. Je autorkou či spoluautorkou několika knih, například Matematika pro bystré a nadané žáky.)