Irena Budínová: Je důležitá individualizace výuky v matematice?

Je ve výuce matematiky nutné přistupovat k žákům individuálně, podle jejich schopností? Nebo je vhodnější pokoušet se je srovnávat na jednu úroveň a v rámci jedné třídy je vzdělávat stejným způsobem a stejnou rychlostí? V matematice přistupuje k řešení problémů každý z nás jiným způsobem. Někdo vše rychle pochopí, umí rychle počítat; jinému trvá dlouho, než něco pochopí, ale poté je již schopen pochopené učivo používat; jsou lidé, kteří jsou velmi zruční ve výpočtech, ale logika trochu pokulhává; nebo naopak, mají rozvinuté logické myšlení, ale nejsou schopni vypočítat např. "sedmkrát osm". Zkrátka existuje celá škála typů lidí podle matematických schopností. V následujícím textu bych chtěla na jedné úloze demonstrovat, jak ke stejnému problému různí žáci přistupují různými způsoby.

Irena Budínová (linkedin.com)

Vybrala jsem úlohu, která je pro mnoho žáků školsky netypická, protože se s ní během základní školy nesetkají. Někteří žáci mají možnost se s tímto typem úloh setkat při řešení Matematické olympiády. Úloha je náročná, a to zejména z toho důvodu, že se odehrává ve dvou různých časech a pro žáky je obtížné najít matematické vztahy v těchto dvou časových hladinách. Úloha je řešitelná algebraicky (označením neznámých a řešením soustavy dvou rovnic o dvou neznámých), avšak i bez znalosti algebraické metody ji mohou žáci řešit – experimentální nebo aritmetickou metodou.

V následujícím textu ukážu různé možnosti řešení úlohy a poté uvedu, jak se k řešení postavili žáci 9. ročníku. Je nutné uvést, že pro testování byli vybíráni žáci nadprůměrní v daných školách.

Úloha: Otec je o 5 let starší, než je trojnásobek synova věku. Za 17 let bude otec dvakrát tak starý než jeho syn. Kolik let je otci a kolik synovi?

Možnosti řešení úlohy: Úlohu je možno řešit experimentálně, kdy stanovíme věk syna a dopočítáváme další hodnoty ze vztahů v zadání. Vzhledem k tomu, že musíme prověřovat hodně vztahů, je vhodné informace zapisovat do tabulky.

Z prvních dvou sloupců vidíme, že když zvýšíme věk syna o 1 rok, zmenší se o 1 rok hodnota u kontroly věku otce. Začínáme na rozdílu 23 a rozdíl má být 17, musíme k věku syna přičíst 6 let. Tímto způsobem velice rychle najdeme správné řešení.

Úlohu je možné řešit také aritmeticky, a to úvahou: Za 17 let bude synovi s+17 let a otci s+17+s+17 (otec je dvojnásobně stár). Zároveň je mu 3s+5+17. Když porovnáme obě vyjádření věku otce za 17 let, je zřejmé, že s+5 = 17. Odtud vidíme, že synovi je 12 let, další hodnoty dopočítáme ze zadaných vztahů.

Uvedené úvahy je možné a velmi účelné opřít o grafickou představu jako na obr. 1. Grafické znázornění může sloužit jako přímý most mezi aritmetickým způsobem uvažování a algebrou, neboť přímo z obrázku lze sestavit rovnice.

Znázorníme věk otce za 17 let dvěma způsoby:

 

Algebraicky můžeme úlohu řešit sestavením rovnice s jednou neznámou. Věk syna označíme jako x. Věk otce nyní je 3x+5. Za 17 let bude platit

(3x+5)+17 = 2(x+17)

(všimněme si, že rovnice zcela koresponduje s obrázkem 1).

Řešením je x = 12. V případě využití algebraické metody by se správně měly provádět dvě zkoušky – pro rovnici a pro slovní úlohu. Ve zkoušce rovnice dosadíme výslednou hodnotu x = 12 do sestavené rovnice. Ve zkoušce slovní úlohy zkontrolujeme všechny vztahy ze zadání: Synovi je nyní 12 let, otci 3 .12+5 = 41 let. Za 17 let bude synovi 29 let a otci 58 let, což je dvojnásobek 29 let. Zkouška slovní úlohy je z obou zkoušek důležitější.

Také je možné sestavit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:

o = 3s+5
o+17 = 2(s+17)

Výsledkem jsou hodnoty s = 12, o = 41

Opět je vhodné provést zkoušku soustavy rovnic a také zkoušku slovní úlohy.
Odpověď: Synovi je 12 let a otci je 41 let.

Přístupy k řešení úlohy žáků 9. ročníku

Z 65 testovaných žáků 9. ročníku vyřešilo úlohu správně 38 žáků a úlohu nevyřešilo 27 žáků. Mezi metodami převažovala algebraická metoda, přestože mnoho žáků mělo problémy s odhalením vztahů a správným označením neznámých. Často se objevovala také experimentální metoda.

Jestliže si žáci nebyli jisti v použití algebraické metody, nejčastěji využili experimentální metodu, jen ve 4 případech se o řešení ani nepokoušeli. V případě experimentální metody se bohužel často jednalo o neřízený experiment, ve kterém žák snadno udělá chybu, jako na obr. 2. Jestliže následně neprovede zkoušku správnosti, chybu neodhalí.

Pokud žák v experimentování najde určitý systém, je obvykle schopen dojít ke správnému výsledku, jako na obr. 3. Řešení je poměrně specifické způsobem zápisu – žák používá svůj pomocný zápis „3x starší syn = o 5 let starší než otec“, čemuž by asi nikdo jiný nerozuměl. Dále úlohu řeší tak, jako by nyní synovi bylo 29 let a otci 58, přitom v odpovědi správně uvádí, že synovi je nyní 12 let a otci 41.

Aritmetickou metodu nepoužil v případě této úlohy žádný žák. To je přirozené, protože vztahy v zadání jsou obtížně uchopitelné.

V 9. ročníku již mají žáci probráno učivo soustav rovnic o více neznámých. Ne všichni však dokážou efektivně tyto postupy aplikovat na slovní úlohy. Žáci mají problémy s určením neznámých, případně neznámé určí správně, ale nedokážou sestavit rovnice.

U některých žáků bylo patrné, že mají postup řešení úlohy zautomatizovaný, postupují v naučených krocích. Např. na obr. 4 vidíme postup žákyně 9. ročníku. Uvedla, že podobné úlohy řešila při přípravě na přijímací zkoušky. U této žákyně bylo patrné, že většinu postupů má osvojenu velmi mechanicky, avšak když narazila na úlohu, se kterou se doposud nesetkala, nebyla schopna objevit řešení.

Žákyně uvádí také zkoušku, ale pouze zkoušku soustavy rovnic. Důležitější ze zkoušek, zkoušku slovní úlohy, neprovedla.

Žáci často použili nesprávnou úvahu, která vedla na sestavení chybné soustavy rovnic, při jejichž vyřešení však žák získal správný výsledek (obr. 5). Druhá rovnice by měla být správně ve tvaru

2(x+17) = y+17

Závěr

Jestliže žákům zadáváme různé matematické úlohy a necháváme jim volnost ve výběru metod, můžeme se přesvědčit, na jaké úrovni matematických dovedností a schopností se nachází. Na řešeních uvedené úlohy bylo možné pozorovat, jak jsou žáci schopni aplikovat učivo rovnic či soustav rovnic, které již mají probráno, na slovní úlohu. V případě, že nedokážou algebraickou metodu použít, mají možnost vrátit se k méně náročným metodám řešení, které využívali v nižších ročnících, jako jsou aritmetická metoda nebo experiment. Proto je velmi důležité, aby se žáci v nižších ročnících druhého stupně ZŠ setkávali s efektivními způsoby používání aritmetických metod řešení slovních úloh.


(Autorka působí na katedře matematiky Pedagogické fakulty MU, kde přednáší mimo jiné didaktiku matematiky. Je autorkou či spoluautorkou několika knih, například Matematika pro bystré a nadané žáky.)