Dalibor Martišek: Ryska a úhloměr v geometrii

Je známa úhlopříčka čtverce, naším úkolem je čtverec sestrojit. Omlouvám se čtenářům, kterým tato úloha už leze z krku, ale až z diskuse pod mým předvánočním článkem jsem poznal, co všechno je možné na této konstrukci demonstrovat. Kromě řady otázek, k čemu taková konstrukce je, jsem dostal řadu otázek typu "proč tak složitě", "proč ne úhloměr" a podobně. Zároveň již v této (bohaté) diskusi (viz Česká škola zde ) padla i řada odpovědí. Rozbor těchto otázek by možná zabral celou knihu. Tu psát sice nebudu, ale alespoň další článek si tato část diskuse určitě zaslouží.

Úvodem mi dovolte ještě poznámku k otázce "k čemu je to dobré". Konkrétně tuto úlohu jsem uvedl jako ukázku toho, co dnes často činí potíže uchazečům o diplom strojního inženýra. Pro takového uchazeče je to jen jeden z mnoha kroků podstatně složitějších geometrických konstrukcí, například "šikmého pohledu" na prostorový objekt (např. na strojní součást). I když se dnes takové věci dělají vesměs na počítači, asi se shodneme na tom, že něco takového budoucí inženýr prostě umět musí. Už třeba jen proto, aby mohl rozpoznat a korigovat chyby, které při takových konstrukcích mohou vzniknout například omylem obsluhy grafického systému. Touto poznámkou se nevyhýbám otázkám, k čemu to potřebuje třeba zámečník, truhlář a podobně. K této diskusi se můžeme samozřejmě vrátit.

Dnes tedy na téma "proč tak složitě", nebo dokonce "zbytečně složitě", jak zdůraznil jeden z diskutujících. Proč kruhové oblouky, proč jednoduše neměřit a ke kolmici nepoužít rysku? Připomeňme, že jsem jako příklad uvedl toto řešení:



K této konstrukci stačí kružítko a pravítko (na rozdíl od běžného významu tohoto slova zde ovšem stačí jedna přímá hrana bez jakékoliv stupnice).

"To jsou celí geometři! Upřednostňují archaické nástroje a nepřipustí jiná a třeba i efektivnější řešení," hudrují další diskutující.

Není to pravda (alespoň u mě ne). Připustil jsem jakékoli řešení a konkrétně u této úlohy i jakékoli nástroje. Ironií osudu ovšem je, že mnozí moji studenti měli s touto konstrukcí potíže jenom proto, že ji uměli jen s úhloměrem a ten jako z udělání neměli zrovna s sebou…

Je ale skutečně "moje konstrukce" složitá? Opravdu je jednodušší vzít milimetry, rysku, úhloměr? Já tvrdím, že je to přesně naopak - jednodušší je konstrukce kružítkem a rovnou latí! Nevěříte?

Již ve svém minulém článku jsem nabádal tazatele, aby se nejdřív vždy zamysleli nad tím, na co se vlastně chtějí ptát. A tento apel musím v této souvislosti znovu zopakovat. Co to vůbec znamená, že nějaký postup je "jednodušší"? Je jednoduší sestrojit oblouk kružnice, anebo změřit úsečku? Už na tuto jednoduchou otázku možná odpoví každý jinak. Ten, kdo neumí zacházet s kružítkem, určitě odpoví jinak, než ten, kdo kružítko ovládá, zato ale neumí napočítat do pěti. Shodněme se tedy na tom, že oba tyto úkoly jsou stejně jednoduché (anebo náročné - to jak pro koho) a představují srovnatelný krok na cestě k vyřešení úlohy. Složitější bude pak ten postup, který těchto "elementárních kroků" potřebuje víc. Zkusme si tedy zahrát třeba šachovou partii. Co tah, to jeden krok konstrukce. A protože jsem lidumil, dám soupeři vybavenému milimetry a ryskou výhodu prvního tahu - nechť má bílé:



Která konstrukce je tedy jednoduší??

Nyní se možná zvedne řada zastánců úhloměru, promyslí si podobně krok po kroku svůj postup a vyzve mě na podobnou partii v domnění, že jejich vítězství je jisté. Není:



"Tak moment - jaký mat?? Vždyť černému chybí celý obvod," může začít protestovat bílý.

Jenže my hrajeme podle pravidel geometrie. A jedno z jejich základních pravidel praví: přímka je sestrojena, jsou-li sestrojeny dva její různé body. A to, jak račte vidět, černý opravdu má. Bílý se ovšem může ohradit: "Kašlu na takovou geometrii. Čtverec dělám na papír (látku, plech…). Musím ho vystřihnout a k tomu tam ty čáry potřebuji. Takže jedeme podle mých pravidel!"

Dobrá. Ale v předešlé partii jsem soupeři kromě prvního tahu dal navíc milimetrové měřítko, trojúhelník s ryskou (tj. vlastně narysované dva pravé úhly) a možná i kalkulačku (to aby dal dohromady to dělení). I vy toto všechno máte k dispozici a navíc teď do mě dokonce úhloměrem! Proti kružítku a rovné laťce bez stupnice! (všimněte si, že jsem opravdu nepotřeboval "pravítko" v běžném slova smyslu, jen tu rovnou plaňku) Dobrá, já to všechno beru, nechám vám i ten první tah, ale dovolte mi proti tomu vašemu mohutnému arzenálu postavit aspoň ten trojúhelník s ryskou. A aby toho na vás nebylo tak moc, milimetrovou stupnici mi klidně zamalujte barvou a kružítko zahodím. Že jsem se zbláznil? Naopak, Když bílý tak kašle na geometrii, přichystám malé překvapení. Dovolím si ohlásit mat, a to hned druhým tahem:



Neudělal jsem nic jiného, než to, po čem volali zastánci "moderních" řešení. "Jednoduchých" návrhů padlo docela dost, toto nejefektivnější řešení kupodivu nenapadlo nikoho. I když "obtažení rohu pravítka" neuznáte za jeden tah, ale jen za dva, i tak vyhraju. Úhloměřičům budiž útěchou, že ten mat pak dostanou až tahem číslo čtyři.

Jistě - rysky a úhloměry jsou zde od toho, aby konstrukce usnadňovaly. Daným bodem sestrojíte kolmici k přímce určitě jednodušeji, když máte po ruce trojúhelník s ryskou, než když musíte dělat tři oblouky kružítkem. To asi žádné triky a šachy nezvrátí. Tyto pomůcky ale nejsou všemocné a zrovna tento čtverec je příklad, kdy řešení mohou naopak dost zkomplikovat.

Je zde další otázka, a to přesnost geometrických konstrukcí. Nepřesnosti, kterých se dopouštíme, lze rozdělit do dvou kategorií: Jsou to nepřesnosti vyplývající ze zvolené konstrukce samotné (tzv. chyby metody) a nepřesnosti padající na hlavu konstruktéra (tj. "nepřesnosti provedení"). Nepřesnosti provedení má každá reálná konstrukce. Žádný konstruktér nesestrojí bod, který by byl bezrozměrný, ani čáru, která by byla nekonečně tenká. Žádné pravítko není dokonale rovné a žádná ruka se netrefí dokonale tam, kam by měla. Tyto chyby má každý konstruktér plus mínus zhruba stále stejné. Pečlivý geometr je bude mít vždycky menší než šlompák. Ať rýsuje cokoli a jakoukoli metodou. Předpokládejme tedy, že obě konstrukce "reálně prováděl" velmi pečlivý konstruktér a že "nepřesnosti provedení" vzniklé nedokonale ořezanou tužkou a třesoucí se rukou lze u obou postupů zanedbat. Pak je ovšem "moje konstrukce" zcela přesná! Průsečíky kruhových oblouků jsou zcela "přesné" body, dvěma body je "zcela přesně" určena přímka (v mém případě dokonce kolmice) atd. "Moje metoda" sama o sobě sestrojuje čtverec naprosto přesně, nemá chybu.

Měření? Předpokládejme, že nulu pravítka přiloží pečlivý konstruktér zcela "přesně". Má zaručeno, že koncový bod úsečky se bude zcela přesně krýt s nějakou ryskou na stupnici? Ale kdeže! Takovou stupnici sestrojit nelze (a věděl to už Pythagoras). Na světě je chyba metody, za kterou konstruktér nemůže. Ať chce nebo nechce, musí začít odhadovat. Předpokládejme že délku úsečky odhadl na 47 milimetrů (a koncový bod úsečky byl příslušné rysce milosrdně blízko). K určení středu měřením potřebujeme naměřit délku 23,5 milimetru. Ale jak, když na pravítku jsou jen celé milimetry? Trváme-li na měření, musíme se smířit s dalším odhadem. Konstruktér se už možná dopustil chyby půl milimetru a to ještě ani vlastně nezačal rýsovat. To není chyba konstruktéra. Do této situace se dostane každý, kdo chce takto postupovat. Je to chyba metody. I kdyby byl konstruktér zcela dokonalý, zvolená metoda mu přesný čtverec prostě nezaručí. Při konstrukcích s úhloměrem je situace podobná. Čtyřicet pět stupňů sestrojíme "přesně". Pokud bychom ale potřebovali tento úhel rozpůlit, vězme, že metoda "běžný úhloměr" má chybu plus mínus půl stupně. Metoda "bezchybná" je zde přitom záležitostí tří kruhových oblouků…

"Půlení milimetru odhadem většinou stačí", nedají si možná pokoj chroničtí zastánci úhloměrů a milimetrových měřítek. Všechno ostatní je složité. Dokonce zbytečně složité. Pro ně možná. Jenže já před sebou ve výuce žádnou "většinu" nemám. Přede mnou je posluchárna plná budoucích strojních inženýrů. Koupil by si někdo auto, jehož konstruktéři se nezdržovali "zbytečnými složitostmi" a vyrobili ho metodou "milimetr - žádná míra?" Vždyť v takovém autě byste ani neotočili klíčkem v zapalování! A to by bylo vaše jediné štěstí. Kdyby se vám to totiž povedlo, mohli byste v takovém autě třeba taky uhořet…

Jaké nástroje tedy používat? Zůstaneme-li čistě v geometrii, pak součástí každé úlohy musí být skutečně nejen informace o tom, co se má sestrojit, ale také čím se to má sestrojit, tj. jaké nástroje mám k dispozici. To se sice výslovně většinou neuvádí, ale ve školské geometrii je to dáno tím, co si žáci daného věku mají do geometrie nosit. Zpočátku by to mělo být jen pravítko (a to rovné a "slepé" - tj. bez jakýchkoli stupnic) a kružítko. Později může přibýt stupnice a možnost měření jako "zkratka" za "přenášení úseček", ryska jako "zkratka" konstrukce pravého úhlu a nakonec úhloměr a třeba i speciální řemeslné nástroje - napadá mě např. pantograf na zvětšování či zmenšování apod.

Zvláštní kapitolu tvoří "konstrukce omezenými prostředky". Máte např. k dispozici pravítko, ale nemáte kružítko. I velmi jednoduché úlohy jsou pak docela složité a mnohé dokonce neproveditelné. Pouhým pravítkem (tj. přímou latí bez stupnice) nesestrojíte například kolmici - a v kolika konstrukcích je kolmice třeba!

"Zkonstruovat čtverec, pokud známe úhlopříčku, se dá jen za pomoci kružítka. Tuším, že svého času to byla úloha v MO pro ZŠ", píše jeden z diskutujících. Pochybuji sice, že to byla úloha na olympiádě (pro ZŠ se mi to zdá zatraceně těžké, a to i na tu olympiádu), ale sestrojit čtverec pouze kružítkem určitě lze. Budete-li mít chuť, můžete zkusit a v případě úspěchu napsat své řešení :-) Pouhým kružítkem lze totiž kupodivu provést všechny konstrukce, proveditelné pravítkem a kružítkem. Kdyby tedy přišlo na věc, pravítko bychom mohli úplně zahodit…

Zde ovšem musíme mít na paměti to, co již bylo řečeno o "geometrické přímce" - sestrojenou přímkou rozumíme dva její body. Čtvercem sestrojeným pouhým kružítkem je pak jen čtveřice jeho vrcholů tak, jak jsem to hájil ve své "druhé partii". "Obtažení obvodu" už je jiná otázka. I když… Umíte sestrojit úsečku pomocí dvou kružítek? A zde myslím skutečně úsečku jako "rovnou čáru podle pravítka, ale bez pravítka (a samozřejmě všech jeho myslitelných "náhražek" - napnutých motouzů apod.). Tuto provokativní otázku jsem položil v diskusi já a dočkal jsem se dvou originálních odpovědí. Autorem jedné je češtinářka(!): Jedno kružítko by použila jako pravítko a druhé jako tužku. Zdravím všechny češtináře a přiznám se, že mě by to možná nenapadlo. Originální, leč bohužel nesprávné. Kružítko je použito jako "rovná lať", tj. náhražka pravítka. Podle názoru dalšího diskutujícího to lze prý dokonce provést jen jedním kružítkem - muselo by ovšem být nekonečné. Rovněž originální. Jenže nekonečné kružítko v žádné narpě nevedou…

Přiznám se, že "rovná čára pomocí dvou kružítek" je poněkud nadsázka. Proto upřesním: Úsečkou rozumím skutečně "kompletní rovnou spojitou čáru", nikoli jen některé její body. K dispozici máme ovšem nikoli dvě kružítka, ale dvě kružnice, z nichž jedna je navíc "pohyblivá". Můžeme si představit, že máme k dispozici dvě kruhové obruče a můžeme třeba kutálet jednu po druhé. Můžeme si vybrat libovolné velikosti, ale použít můžeme jen dvě z nich. A "nekonečné" obruče bohužel nejsou na skladě. Už se těším na diskusi k této otázce a vrátím se zpět k našemu problému.

Takže ryska a úhloměr - ano, či ne? Určitě ano. Ale až poté, kdy pochopíme, že jsou to jen pomocné nástroje, pomůcky k urychlení některých konstrukcí, "zkratky". Až poté, kdy pochopíme, že použití mnohých těchto "berliček" je méně přesné, což v jistých případech může dost vadit. A trochu paradoxně až poté, kdy bychom se bez nich v případě nutnosti byli schopni obejít.

A konečně ještě něco k úvahám o jednoduchosti či složitosti konstrukce. Je to věc, která už v diskusi na České škole rovněž zazněla. Kružítko a rovná lať (popřípadě jejich různé náhražky) jsou nejjednoduší nástroje, kterými lze geometrické konstrukce provádět. Jestliže používám nástroje sofistikovanější (například kolmou rysku), jsou pro mě mnohé konstrukce opravdu jednodušší. Ovšem jen díky tomu, že někdo přede mnou ten nástroj sestrojil (a minimálně ten "první konstruktér rysky" žádnou rysku samozřejmě k dispozici neměl).

Každé použití takového nástroje pak znamená použití znalostí, které jsou takto skryty v jeho konstrukci a které jeho uživatel nemusí ani mít (to platí ostatně o každé pomůcce, přístroji, stroji…). Netroufám si říci, kolik procent dospělé populace by bylo schopno sestrojit pravý úhel bez rysky a úhloměru (a samozřejmě různých náhražek - knih, poliček ze skříní apod.). Troufám si ale říci, že devadesát devět procent uživatelů úhloměrů nemá ani ponětí o tom, jaké znalosti vlastně používá. Rozdělit devíticentimetrovou úsečku na devadesát shodných úseček (milimetrů) není zas až takový problém. Je to poměrně jednoduchá úloha, řešitelná "bezchybnou metodou" (nepřesnosti sestrojené milimetrové stupnice padají vždy na hlavu konstruktéra). Ale "bezchybná metoda", která by rozdělila pravý úhel na devadesát shodných úhlů (stupňů) neexistuje. Úhloměr máme k dispozici jen proto, že geometři vyvinuli velmi rafinované metody, které toto dělení provedou "jen přibližně", tj. s určitou chybou. Jsou to ovšem metody, jejichž chyby jsou postatně menší, než nepřesnosti nejpečlivějších budoucích uživatelů úhloměru.

Takže až příště budete brát do ruky trojúhelníky s ryskami, úhloměry, či podobné pomůcky, vzpomeňte prosím aspoň občas s úctou na jejich tvůrce.


Dalibor Martišek